
- •Введение
- •1. Организация и порядок проведения практических занятий
- •Критерии оценки
- •Практическая работа № 1
- •Теоретические сведения
- •Раскрытие неопределенностей вида :
- •Раскрытие неопределенностей вида :
- •Индивидуальные задания
- •Практическая работа № 2
- •Теоретические сведения
- •Индивидуальные задания
- •Практическая работа № 3
- •Теоретические сведения
- •Индивидуальные задания
- •Практическая работа № 4
- •Теоретические сведения
- •Индивидуальные задания
- •Практическая работа № 5.
- •Теоретические сведения
- •И ндивидуальные задания. Практическая работа № 6
- •Теоретические сведения
- •Индивидуальные задания
- •Проверьте себя:
- •Практическая работа № 7
- •Теоретическая справка
- •Индивидуальные задания
И ндивидуальные задания. Практическая работа № 6
Тема работы: Решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными..
Теоретические сведения
Свойства неопределенного интеграла
1)
;
3)
;
2)
;
4)
,
если а
=
const;
5)
Если
,
то
,
где u(x)
– любая дифференцируемая функция.
Таблица основных интегралов:
1.
; 7.
;
2.
; 8.
;
3.
; 9.
;
4.
; 10.
;
; 11.
;
5.
; 12.
;
6.
;
13.
; 14.
;
15.
;
16.
.
Определение 1. Уравнение, содержащее дифференциал функции или производную, называется дифференциальным.
Например:
,
,
.
Определение 2. Решением дифференциального уравнения называется всякая функция, которая обращает данное уравнение в истинное равенство.
Упражнение.
Проверить: Является функция
решением
дифференциального уравнения
.
Проверка:
Найдём производную функции:
Подставим найденное выражение в левую часть уравнения:
Левая часть равна правой, следовательно,
данная функция
является решением дифференциального
уравнения
.
Определение
3. Уравнение вида
,
в котором переменные расположены в
разных частях уравнения, называется
дифференциальным уравнением I
порядка с разделяющимися переменными.
Метод решения основан на интегрировании каждой части уравнения.
Пример
1. Решить уравнение:
.
Решение:
из формулы дифференциала функции
выразим производную
.
Подставим в уравнение. Уравнение примет
вид:
.
Домножим
уравнение на dx ,
тогда
Переменные
разделены. Можно интегрировать:
- это решение называется общим.
Пусть заданы значения переменных x=1, y=3 – это начальные условия. Они нужны, чтобы получить частное решение, в котором будет определено значение константы С.
Подставим значения переменных в уравнение и выразим С.
3=
- частное решение дифференциального
уравнения.
Пример
2. Найти частное решение:
(5;10)
Решение: xdy = ydx
Разделим уравнение на
Сократим дроби.
Можно интегрировать:
Заменить
По теореме о логарифмах
тогда общим решением будет:
или y=Cx
Подставим координаты точек: x=5, y=10
Таким образом, y=2x - частное решение.
Пример
3. Найти частное решение:
(0;1)
Решение:
(т.к.
)
Разделим уравнение на «y»
Пусть С
lnC
и
.
По теоремам о логарифмах получаем:
-общее
решение
Пусть y=0, y=1, определим С.
С=1
- частное решение дифференциального
уравнения.
Пример 4. Найти общее решение:
Решение: преобразуем уравнение к виду: (3x-2)dy=(y+4)dx
Разделим уравнение на (3x-2)(y+4)
Можно интегрировать:
.
Данные интегралы решаем методом подстановки
а)
б)
Результаты подставить в уравнение:
,
где С
lnC
(
по теоремам о логарифмах)
-общее
решение