8.9.Степенные ряды.

О1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

, (19)

где a₁, a₂,… a_n,…- числа.

Ряд

, (20)

также являющийся степенным рядом, может быть сведён к виду (19) заменой переменной . Далее будем рассматривать, как правило, степенные ряды в виде (19).

Т1. Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится при x = x₁ , то он сходится и притом абсолютно для всех .

Доказательство. По условию теоремы, так как члены ряда ограничены, то

где k- некоторое постоянное число. Справедливо следующее неравенство:

Из этого неравенства видно, что при x<x₁ численные величины членов нашего ряда будут не больше соответствующих членов ряда правой части записанного выше неравенства, которые образуют геометрическую прогрессию. Знаменатель этой прогрессии по условию теоремы меньше единицы, следовательно, эта прогрессия представляет собой сходящийся ряд.

Поэтому на основании признака сравнения делаем вывод, что ряд сходится, а значит ряд сходится абсолютно.

Таким образом, если степенной ряд сходится в точке х₁, то он абсолютно сходится в любой точке интервала длины 2 с центром в точке х = 0.

Следствие. Если при х = х₁ ряд расходится, то он расходится для всех .

Таким образом, для каждого степенного ряда существует такое положительное число R, что при всех х таких, что ряд абсолютно сходится, а при всех ряд расходится. При этом число R называется радиусом сходимости. Интервал (-R, R) называется интервалом сходимости.

Отметим, что этот интервал может быть как замкнутым с одной или двух сторон, так и не замкнутым.

Для ряда в виде (20) интервал сходимости: (a-R, a+R).

Т2. Степенной ряд сходится равномерно на любом интервале (-R₁, R₁), где 0<R₁<R, R - радиус сходимости ряда (19).

Действительно, на таком интервале можно написать

, , ,…,

Т.е. члены ряда (19) по абсолютной величине не превосходят соответствующих членов числового ряда

Последний ряд сходится, так как R₁ лежит внутри интервала сходимости. Следовательно, по признаку Вейерштрасса (см. п.8.7, Т2) ряд (19) равномерно сходится на интервале (-R₁, R₁).

8.10.Вычисление радиусов сходимости степенных рядов.

О.1 Верхним пределом последовательности называют точную верхнюю грань множества частичных пределов данной последовательности. Записывают:

(21)

Например:

Т.1 Теорема Коши-Адамара. Радиус сходимости R ряда равен обратной величине верхнего предела последовательности

(22)

При этом, если , то и , если .

В частных случаях можно применить следующие способы определения радиуса сходимости.

1)Если среди коэффициентов ряда нет равных нулю (т.е. ряд содержит все целые положительные степени x) и существует предел (конечный или бесконечный), то

(23)

2) Если ряд имеет вид

, (24)

где p -целое положительное число, то

. (25)

Во всех случаях интервал сходимости можно находить, непосредственно применяя признак Даламбера или признак Коши к ряду, составленному из абсолютных величин членов исходного ряда.

Пример1. Исследовать на сходимость ряд

Применяем признак Даламбера:

.

Получаем, что этот ряд сходится при и расходится при .

Теперь определим сходимость в граничных точках 1 и –1.

При х = -1: ряд сходится по признаку Лейбница.

При х = 1: ряд расходится (гармонический ряд).

Ответ: ряд сходится на промежутке [-1, 1)/

Пример 2. Найти область сходимости ряда

Находим радиус сходимости .

Следовательно, данный ряд сходится при любом значении х. Общий член этого ряда стремится к нулю.

Ответ: ряд сходится на промежутке (-∞, ∞).

8.11 Действия со степенными рядами.

1) Сложение и вычитание степенных рядов сводятся к соответствующим операциям с их членами:

. (26)

2) Произведение двух степенных рядов выражается формулой:

, (27)

где коэффициенты с_i находятся по формуле: . (28)

3) Деление двух степенных рядов выражается формулой:

, ( ) (29)

где коэффициенты q_n можно получить , решив систему уравнений:

(30)

Так как степенные ряды сходятся на любом интервале внутри промежутка сходимости, то их можно интегрировать и дифференцировать. Запишем формулы для интегрирования и дифференцирования рядов, полагая что .

4) Интегрирование степенных рядов:

(31)

5) Дифференцирование степенных рядов:

(32)

8.12 Разложение функций в степенные ряды.

Разложение функций в степенной ряд имеет большое значение для решения различных задач исследования функций, дифференцирования, интегрирования, решения дифференциальных уравнений, вычисления пределов, вычисления приближенных значений функции.

Ранее были рассмотрены способы разложения функции в степенной ряд при помощи рядов Тейлора и Маклорена.

1) Способ разложения алгебраическим делением, рассмотрим на примере. Данный способ пригоден только для разложения в ряд алгебраических дробей.

Пример1. Разложить в ряд функцию .

Суть метода алгебраического деления состоит в применении общего правила деления многочленов:

_ 1 │1 - x____________

1 – x │1 + x + x² + x³ + …

_ x

x – x²

_ x²

x² – x³

x³

……….

Итого, получаем: (33)