То есть по критерию Коши из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1).

О2. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд .

О3. Ряд называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд расходится.

Знакочередующийся ряд (частный случай знакопеременного ряда) можно записать в виде:

(11)

где

Признак Лейбница (достаточный признак сходимости). Если у знакочередующегося ряда (11) абсолютные величины его членов убывают и общий член стремится к нулю т. е.

а) (12)

б) , (13)

то ряд сходится.

Для суммы S ряда, удовлетворяющего условиям признака Лейбница верна оценка

. (14)

Для установления абсолютной сходимости рядов могут быть применены признаки сходимости рядов с неотрицательными членами (см. 8.5).

8.7 Функциональные ряды

О1. Ряд, членами которого являются функции, называется функциональным.

Общий вид функционального ряда:

, (15)

где x - независимая переменная, - бесконечная последовательность функций с некоторой общей областью определения.

О2. Частными (частичными) суммами функционального ряда называются функции

О3. Функциональный ряд называется сходящимся в точке (х=х₀), если в этой точке сходится соответствующий числовой ряд , а сумма такого числового ряда называется суммой ряда в точке х₀.

О4. Областью сходимости ряда называется совокупность всех значений х, для которых ряд сходится.

О5. Последовательность {f_n(x)} равномерно сходится к функции f(x) на отрезке [a,b], если для любого числа >0 существует номер N = N(), такой, что неравенство

выполняется при n>N для всех точек отрезка [a,b].

О6. Ряд называется равномерно сходящимся на отрезке [a,b], если равномерно сходится на этом отрезке последовательность частных сумм этого ряда.

Т1. (Критерий Коши равномерной сходимости ряда)

Для равномерной сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы для любого числа >0 существовал такой номер N(), что при n>N и любом целом p>0 неравенство

(16)

выполнялось бы для всех х на отрезке [a,b].

Т2. (Признак равномерной сходимости Вейерштрасса)

Ряд сходится равномерно и притом абсолютно на отрезке [a,b], если модули его членов на том же отрезке не превосходят соответствующих членов сходящегося числового ряда с положительными членами :

Ряд называется мажорантой ряда .

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Так как всегда, то очевидно, что .

При этом известно, что обобщённый гармонический ряд при =3>1 сходится, следовательно, в соответствии с признаком Вейерштрасса исследуемый ряд равномерно сходится и притом в любом интервале.

8.8 Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов.

Пусть на отрезке [a,b] члены ряда являются непрерывными функциями, а ряд сходится равномерно, тогда справедливы следующие теоремы.

Т.1 (о непрерывности суммы ряда)

Сумма ряда S(x) есть непрерывная функция на отрезке [a,b].

Т.2 (о почленном интегрировании ряда).

Ряд, полученный почленным интегрированием по отрезку [a,b] , сходится к интегралу от суммы ряда по этому отрезку.

(17)

Т.3 ( о почленном дифференцировании ряда)

Если, кроме непрерывности, члены ряда имеют непрерывные производные, и ряд, составленный из этих производных сходится на этом отрезке равномерно, то и данный ряд сходится равномерно и его можно дифференцировать почленно.

(18)