Часть 8. Ряды.

8.1 Числовые ряды. Основные определения.

О1. Числовым рядом называется выражение в виде бесконечной суммы членов бесконечной числовой последовательности :

(1)

Числа называют членами ряда, а u_n – выражение, позволяющее вычислить значение любого члена ряда по его номеру - общим членом ряда.

О2. Суммы , n = 1, 2, … называются.

О3. Суммой ряда называется предел последовательности его частных сумм , если он существует и конечен, и записывают:

(2)

Ряд (1) в этом случае называется сходящимся.

Если предел (2) не существует или равен бесконечности, то ряд (1) называется расходящимся и в соответствие ему сумма не ставится.

Ряд можно представить в виде суммы его частной суммы S_n и бесконечной суммы остальных членов ряда R_n, которая, в этом случае называется остатком ряда:

(3)

Пример. Исследовать на сходимость ряд, членами которого являются члены геометрической прогрессии. Первый член прогрессии - a₀≠0 , знаменатель прогрессии - q.

Решение. Ряд имеет вид: .

Составим частную сумму:

(сумма членов геом. прогрессии, q≠1).

Найдём придел частных сумм:

Ответ: Если q<1 ряд сходится и его сумма , если q≥1 - ряд расходится.

8.2 Свойства рядов.

1) Если ряд сходится или расходится, то и ряд , где r- конечное, соответственно сходится или расходится.

2) Остатк сходящегося ряда с возрастанием номера стремится к нулю: .

2) ) Если ряд сходится и его сумма равна S, то и ряд , где C - число, тоже сходится, и его сумма равна СS.

3) Если ряды и сходятся и их суммы равны соответственно S и W, то ряд тоже сходится и его сумма равна S ± W, т.е.

Сумма сходящегося и расходящегося рядов будет расходящимся рядом.

О сумме двух расходящихся рядов общего утверждения сделать нельзя.

8.3 Критерий Коши. Необходимые условия сходимости ряда.

При изучении рядов решают в основном две задачи: исследование на сходимость (определение сходится ряд или расходится) и нахождение суммы ряда.

Критерий Коши (необходимые и достаточные условия сходимости ряда). Для того, чтобы ряд был сходящимся необходимо и достаточно, чтобы для любого существовал номер N такой, что при n>N и любом p>0 выполнялось неравенство

. (4)

Необходимое условие сходимости ряда. Если ряд сходится, то

. (5)

8.4 Теоремы сравнения для рядов с неотрицательными членами.

Пусть даны два ряда и при u_n, v_n  0.

Т1. Если u_n  v_n при любом n, то из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Т2. Если и существует предел , где h – число, отличное от нуля, то ряды и сходятся или расходятся одновременно.

Примечание. В качестве рядов сравнения выбирают ряды с известными свойствами. Часто в таком качестве применяют обобщённый гармонический ряд , сходящийся при p>1 и расходящийся при p≤1/

8.5 Признаки сходимости для рядов с положительными членами.

1) признак Даламбера. Если существует предел

, (6)

то при  < 1 ряд сходится, а при  > 1 – расходится. Если  = 1, то на вопрос о сходимости ответить нельзя.

2) Радикальный признак Коши. Если существует предел

, (7)

то при l<1 ряд сходится, а при l >1 ряд расходится. Если l = 1, то на вопрос о сходимости ответить нельзя

3) Интегральный признак Маклорена-Коши. Если (х) – непрерывная положительная функция, убывающая на промежутке [1;), то ряд

(1) + (2) + …+ (n) + … = (8)

и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.

8.6 Знакопеременные ряды. Признак Лейбница.

О1. Ряд называется знакопеременным, если число его как положительных, так и отрицательных членов бесконечно велико.

Рассмотрим некоторый знакопеременный ряд (с членами произвольных знаков).

(9)

и ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (9):

(10)

Т.1 Если ряд (9) сходится, то сходится и ряд (10).

Доказательство. Ряд (2) является рядом с неотрицательными членами. Если ряд (2) сходится, то по критерию Коши для любого >0 существует число N, такое, что при n>N и любом целом p>0 верно неравенство:

По свойству абсолютных величин: