Примеры.

1. Из разрезной азбуки сложено слово МАМА, затем рассыпано и сложено случайным образом. Найти вероятность того, что снова получится слово МАМА.

P = , n = P₄ = 4! = 24, m = 2! ∙ 2! = 4 => P = = = 0.17.

2. Четыре человека, среди которых двое знакомых, случайным образом рассаживаются в ряд, состоящий из шести стульев. Какова вероятность того, что знакомые окажутся рядом сидящими?

n = , m = (4∙2 + 2) ∙ = P = = . 3. Из группы, состоящей из 4 студенток и 7 студентов, случайным образом отбираются 5 человек. Какова вероятность того, что среди отобранных окажется ровно 2 студентки?

, .

4. Из урны, в которой находятся 5 красных, 2 синих и 4 желтых шара наудачу без возвращения в урну извлекаются:

1. 7 шаров. Найти вероятность того, что среди этих шаров окажется ровно 3 красных;

2. 2 шара. Найти вероятность того, что:

а) это будут желтые шары;

б) эти шары будут одного цвета;

в) эти шары будут разного цвета;

г) среди этих шаров будут хотя бы один красный;

3. 3 шара. Найти вероятность того, что:

а) эти шары будут одного цвета;

б) эти шары будут разных цветов;

в) взятый из них наудачу один шар окажется желтым;

4. 2 шара и они оказались одного цвета. Найти вероятность того, что это красные шары.

Решение.

1. В урне 5 красных и 6 некрасных шаров

.

2. a) P(ж и ж) = = 0.11.

б) P(к и к или с и с или ж и ж) =

в) Для двух шаров событие «шары разного цвета» противоположно

событию «шары одного цвета» => P(в) = 1 − P(б) = 1 – 0.31 = 0.69.

г) Считаем, что в урне 5 красных и 6 некрасных шаров и найдем

P(A) = 1 – P( ) = 1 – P(н и н) = .

3. а) Р(к и к и к или с и с и с или ж и ж и ж) = = 0.085.

б) P(к, ж, с) = = 0.24

Примечание. Множитель 3! Соответствует числу перестановок 3-х элементов.

в) Решим задачу по формуле полной вероятности. В урне находятся 4 желтых и 7 нежелтых шаров. Событие А – желтый шар из 3-х.

Гипотезы: H₁ – 3 желтых шара;

H₂ – 2 желтых и 1 нежелтый;

H₃ − 1 желтый и 2 нежелтых;

H₄ – 3 нежелтых.

Контроль

4. Считаем, что в урне 5 красных и 6 некрасных шаров. Событие А – шары одного цвета.

Гипотезы:

Н₁ – 2 красных шара;

Н₂ – 2 некрасных шара;

Н₃ – 1 красный и 1 некрасный.

Надо найти . По формуле Байеса .

Контроль

5. В урне находятся 5 красных и 8 синих шаров. Шар извлекается и возвращается в урну 4 раза. Найти вероятность того, что красный шар появится:

а) ровно 3 раза; б) не менее 2-х раз.

Для решения задачи применяем формулу Бернулли ,

а)

б)

6. Из урны, содержащей 7 синих и 8 желтых шаров наудачу извлекаются 4 шара. Построить ряд распределения и найти математическое ожидание случайной величины равной числу синих шаров среди извлеченных 4-х шаров.

Значение случайной величины

Найдем их вероятности:

Проверим свойство ряда: .

Xk	0	1	2	3	4
Pk

Итак, ряд распределения Х :

Математическое ожидание

7. Дискретная случайная величина Х с известным математическим ожиданием М(Х) = 3.7 задана рядом распределения:

Xi			2	5	10
Pi	0.1	р2	0.2	р4	0.2

Требуется:

а) найти p₂ и p₄ ;

б) построить многоугольник распределения;

в) построить интегральную функцию F(x) и ее график;

г) вычислить дисперсию и среднее квадратическое отклонение.