Глава 4 схемы кодирования и декодирования циклических кодов

4.1. Линейные переключательные схемы

Операции кодирования и декодирования циклических кодов реализуются с помощью переключательных схем, или много тактных линейных фильтров.

Рассмотрим кратко, как строятся и функционируют такие фильтры. Они состоят из трех типов элементов:

1. Сумматора, обозначаемого, на схемах так, как показано на рис. 4.1. Для бинарных кодов суммирование производится по mod 2;

2. Умножителя (рис. 4.2) Для бинарных кодов коэффициент с принимает значения 0 или 1, т.е. умножение по существу означает наличие (с=1) или отсутствие (с=0) связи;

Рис. 4.1 Сумматор

3. Элемента задержки (рис. 4.3). В элементе задержки информация запоминается на один такт. Продвижение информационных символов в многотактных фильтрах происходит под действием тактовых импульсов синхронизирующего генератора. Но обычно эта цепь на схемах не показывается.

Рис. 4.2. Умножение

Рис. 4.3. Элемент задержки

Рассмотрим в качестве примера цепочку из трех последовательно включенных элементов памяти (рис. 4.4). Пусть на

вход подается последовательность символов 1101. Ей соответствуют такие последовательные состояния элементов задержки: 100, 110, 011, 101, 010, …

Комбинируя операция сложения, умножения и задержки, можно получить переключательные схемы, которые так преобразуют последовательности входных символов, что их действия можно интерпретировать как действия с полиномами.

Умножение многочленов

Некоторая последовательность символов условно представляется с помощью полинома степени k, в котором являются коэффициентами при :

a(x)=

Условимся, что символ с большим индексом появляется по времени раньше. Проследим, какие операции надо выполнить при умножении a(x) на другой полином h(x) степени l:

h(x)=

a(x)h(x)=

(4.1)

a)

+

-1

Б)

Рис. 4.5. Схемы умножения

Операции в (4.1)-это операции сложения, умножения и задержки. Они могут быть выполнены одной из схем, показанных на рис. 4.5.

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим по тактам, какие символы вырабатываются на выходе схемы 4.5,а. В начальном состоянии все элементы задержки содержат нули. Первый символ, поступающий на схему умножения,- символ .

Далее

такт 1: ;

такт 2: ;

такт k+1: + ;

такт k+l+1: + ;

Мы видим, что полученные символы в точности соответствуют формуле (4.1). Аналогично можно проследить процесс умножения и схемой, изображенной на рис. 4.5,б

=1

Рис. 4.6. Схемы умножения на полином h(x)=

Для двоичной системы счисления фактически сохраняются только те цепи умножения, где . На рис. 4.6 в качестве примера показаны два варианта схем умножения на полином h(x)= , когда

Деление многочленов

Чтобы уяснить последовательность операций при делении многочленов, рассмотрим конкретный пример. Разделим «в столбик» полином a(x)= на полином g(x)= (все операции выполняются по mod 2)

В процессе деления многочлен-делитель g(x) умножается на результат деления (0 или 1) и это произведение вычитается (складывается в двоичной системе счисления) с многочленом-делимым.

Для этих операций удобно использовать схему умножения на рис. 4.5,б, дополнив ее обратной связью, которая реализует умножение результата деления на полином. Такая схема показана на рис. 4.7. Она осуществляет деление на полином g(x) степени r.

Первый символ, отличный от нуля появляется на выходе этой схемы после r тактов (степень частного меньше степени

Рис. 4.7. Схема деления

делимого на r). Его надо умножить на g(x) и вычесть из первых r символов входного полинома, которые к этому моменту заполнили элементы задержки, и т.д.

На рис. 4.8 изображена схема, которая производит деление на полином g(x)= . Проследим состояние элементов задержки

Рис. 4.8. Схема деления на полином

g(x)=

этой схемы в процессе деления полинома a(x)= на полином g(x). Полиному а(х) соответствует последовательность символов 11001101. Состояние элементов задержки отражено в табл. 4.1.

После того как на вход поступил последний символ , в элементах задержки записывается остаток отделения 101, что соответствует r(x)=

Таблица 4.1

№ элементов задержки № такта		1 2 3		Символы на входе		Символ на выходе
0 1 2 3 4 5 6 7 8	0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1		1 1 1 0 1 1 0 1		0 0 0 1 1 0 0 0

Интересно проследить работу схемы деления в автономном режиме, когда на вход не поступает никаких символов. В этом случае схема вырабатывает полную систему вычетов по mod( , т.е. элементы расширения поля GF( .

Приведем последовательные состояния элементов задержки этой схемы и соответствующие им элементы расширения

1 0 0 1;

0 1 0 х;

0 0 1

1 1 0

0 1 1

1 1 1

1 0 1

1 0 0

Чередование состояний строго определено самой схемой, поэтому известно число тактов, которое определяет любую комбинацию от исходной 100. Это свойство используется при декодировании циклических кодов.

Если g(x) – неприводимый полином степени r, то период автономный работы равен . В нашем примере r=3 и период равен 7. В других случаях периодичность уменьшается. Проверим это на примере. Запишем последовательности состояний элементов задержки в схеме, реализующей деление на неприводимый полином (рис. 4.9), и для

Рис. 4.9. Схема деления на полином

схемы рис. 4.10, которая делит на полином (см. табл. 4.2)

Рис. 4.10. Схема деления на полином

1

Мы видим, что периодичность первой схемы равна , периодичность второй схемы определяется наибольшей степенью неприводимого полинома .