Глава 2 элементы алгебры

Для понимания свойств кодов и правил их построения необходимо познакомиться с рядом положений алгебры. Следует отметить, что состав современной алгебры сильно отличается от привычной «школьной» алгебры, основной задачей которой являлось решение алгебраических уравнений. В современной алгебре изучаются алгебраические системы, т. е. множества, которые подчиняются определенным правилам [6].

Здесь очень кратко приведены только те сведения, без которых нельзя понять последующий материал; не дается доказательств теорем. Большей частью они ясны интуитивно. Для лучшего усвоение все свойства иллюстрируются примерами, которые должны облегчить восприятие абстрактных понятий алгебры.

2.1. Поле

Множество элементов М называется полем, если заданы операции сложения и умножения, удовлетворяющие следующим законам:

1. Замкнутость - для каждой пары существует единственный элемент c , такой, что с= ;

2. Коммутативность ;

3. Ассоциативность ;

4. Наличие единичного элемента с (нуля для сложение и единицы для умножения) ;

5. Наличие обратных элементов (при сложении , при умножении );

Поле, содержащее конечное число элементов q, называется конечным полем, или полем Галуа (Galois Field). Оно обозначается как GF(q). Число q называется также порядком поля. Если q- простое число, то говорят, что поле- простое.

2.2 Вычет

Целые числа и называется сравнимыми по модулю р, если при делении на р они дают один и тот же остаток r (mod p). Очевидно, что r .

Класс чисел, удовлетворяющих соотношению х=r (mod p), образует класс вычетов по модулю р. Если из каждого класса взять по одному представителю, то получим полную систему вычетов. Обычно в качестве таких представителей берут числа 0,1,2,…,(р-1).

| Знак (*) символизирует как сложение, так и умножение

Пример. Пусть р=5. Запишем классы вычетов по mod 5.

r=0 x: 0, 5, 10, 15, …

r=1 x: 1, 6, 11, 16, …

r=2 x: 2, 7, 12, 17, …

r=3 x: 3, 8, 13, 18, …

r=4 x: 4, 9, 14, 19, …

Полную систему вычетов можно образовать, произвольно выбрав по одному числу из каждого класса, например, {5, 6, 2, 13, 19}, однако удобнее взять минимальные значения {0, 1, 2, 3, 4}.

Операции, аналогичные описанным выше, проводится и над полиномами. Это делается следующим образом:

Полином называется полиномом над полем GF(p), если коэффициенты принадлежат этому полю.

Два полинома и b(x) сравнимы по модулю полинома f(x), что записывается как если

При этом все операции над коэффициентами проводятся по mod p.

Пример. Пусть р=2. Найдем остаток от деления полинома на полином f(x)= . Проведем деление «в столбик»

0 0 1

Остаток равен r(x)=1.

Можно записать

т.е.

.

Степень полинома-остатка f(x) может принимать значения от 0 до n 1 (n-степень полинома f(x)).

Каждому r(x) соответствует свой класс полиномов , удовлетворяющих равенству

.

Общее число классов равно . Любой полином этого класса является вычетом по modf(x) по отношению к другим полиномам этого класса.

Особый интерес представляют классы вычетов, когда f(x)-неприводимый полином, т.е. его нельзя разложить на множители. В этом случае полная система вычетов по modf(x) образует конечное поля из элементов и называется расширением степени и n простого поля. Оно обозначается как GF( .

Пример. Найдем расширение поля, если р=2, n=2,

F(x)=

f(x)-неприводимый полином.

Проверим наличие обратного элемента в этой системе вычетов по mod ( .

1

Таким образом, х и х+1 является взаимно обратными элементами в этой системе, и расширение является полем.

Рассмотрим для сравнения систему вычетов по модулю полинома, который может быть разложен на множители, следовательно, не является неприводимым.

Таким полиномом является, например, f(x)= . Действительно, f(x)=(x+1)(x+1)= . Попробуем проверить наличие обратного члена

x(x+1)=

x

Мы убедились, что в системе вычетов по mod( нет обратного члена. Значит, эта система не представляет собой поле.