3.2. Размещения с повторениями

Рассмотрим задачу: Из 4–множества составить 16 кортежей длины 2.

Решение:

Решим теперь общую задачу: Найти число кортежей длины , которые можно составить из элементов – множества . Чтобы решить эту задачу, надо найти число кортежей в декартовом произведении , содержащем множителей (это декартово произведение как раз и состоит из таких кортежей). Но по правилу произведения число элементов в декартовом произведении равно . Так как по условию (множество содержит элементов), то .

Итак, число кортежей длины , составленных из элементов - множества , равно .

Пример 1. Из букв русского алфавита составить слова, длиной 2, 3, 4,…

Решение: Воспользуемся формулой и получим, что из 33 букв русского алфавита можно составить 33² слов длины 2 (аа, аб, ав, . . ., ая, ба, бб, . . ., яю, яя), ЗЗ³ слов длины 3, ЗЗ⁴ слов длины 4 и т. д. Точно так же из 10 цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 можно составить 10² двузначных номеров (00, 01, ...... .,99), 10³ трехзначных номеров и т. д.

Определение. Кортеж длины , составленный из элементов – множества, называют размещением с повторениями из элементов по , а число таких кортежей обозначают (от французского слова arrangement — размещение).

Таким образом, (6)

Формула (6) позволяет решить такую задачу: Найти число подмножеств – множества .

Решение: Перенумеруем элементы множества . Каждое подмножество можно «зашифровать» с помощью кортежа длины из нулей и единиц; мы пишем на некотором месте 1, если элемент с данным номером входит в подмножество, и 0, если он не входит. Например, если , то кортеж (0; 1; 1; 0; 1) шифрует подмножество , а кортеж (0; 0; 0; 0; 0) — пустое подмножество, а кортеж (1; 1; 1; 1; 1) — все . Поэтому найти число подмножеств – множества — это все равно, что найти число кортежей длины , составленных из элементов 2–множества {0; 1}. По формуле (1) число таких кортежей равно . Значит, число подмножеств – множества равно . Например, множество имеет 2³ = 8 подмножеств:

Пример 2: Пятеро студентов сдают экзамен. Сколькими способами могут быть поставлены им оценки, если известно, что никому из них не будет поставлена неудовлетворительная оценка?

Решение: Каждый из студентов может получить любую из оценок: «5», «4», «3». Мы рассматриваем множество , которое состоит из трех различных элементов. При этом порядок расстановки оценок существенен, оценки могут повторяться, а общее число оценок равно четырем. Таким образом, нужно составить размещения с повторениями из трех элементов по пяти: .

Задания для практических занятий и самостоятельного решения.

20. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6?

21. Сколькими способами из колоды, содержащей 36 карт, можно выбрать по одной карте каждой масти?

22. В некотором государстве не было двух жителей с одинаковым набором зубов. Какова может быть наибольшая численность населения государства (у человека не более 32 зубов)?

23^*. Сколько существует автомобильных номеров, составленных из трех букв и трех цифр (кроме 000). Буквы – А, В, Е, К, М, Н, О, Р, С, Т, У, Х.