§ 3. Правила и формулы комбинаторики

3.1. Общие правила комбинаторики

На практике часто приходится выбирать из некоторого множества объектов его подмножества, располагать элементы какого-то множества в том или ином порядке и т. д. Поскольку в таких задачах речь идет о тех или иных комбинациях, их называют комбинаторными. Область математики, в которой изучают комбинаторные задачи, называют комбинаторикой. По сути дела, в комбинаторике изучают конечные множества, их подмножества, отображения, а также кортежи, составленные из элементов конечных множеств. Поэтому комбинаторику можно рассматривать как часть теории конечных множеств.

Решение большинства комбинаторных задач основано на двух простых правилах, которые называют правилами суммы и произведения. Правило суммы позволяет найти число элементов в объединении двух конечных множеств, а правило произведения — число элементов их декартова произведения.

Обозначим число элементов конечного множества через . Множество, состоящее из элементов, назовем – множеством. Например, если , то , и поэтому является 6–множеством.

Пусть содержит элементов, a содержит элементов. Найдем, сколько элементов содержит объединение . Однозначный ответ на этот вопрос можно дать лишь в случае, когда множества и не пересекаются. В этом случае множество содержит элементов, например, если , то содержит элементов.

Таким образом, справедливо следующее утверждение: если множество содержит элементов, а множество содержит элементов, причем эти множества не пересекаются, то множество содержит элементов.

Иными словами, (1)

Это очевидное утверждение называют в комбинаторике правилом суммы.

В комбинаторике равенство (1) обычно формулируют следующим образом: если элемент можно выбрать способами, а элемент можно выбрать способами, то выбор элемента или элемента можно выбрать способами.

В случае, когда множества и пересекаются, дело обстоит сложнее. Например, объединение множеств и состоит лишь из семи элементов: , а не из элементов. Это объясняется тем, что элементы и принадлежат и множеству и множеству , а в объединение эти элементы входят лишь один раз (для множеств не имеет смысла говорить, что некоторый элемент входит в них несколько раз). Поэтому из суммы надо вычесть , т. е. число элементов пересечения . Вообще, для любых двух множеств и справедливо равенство: (2)

Итак, число элементов объединения двух множеств равно сумме чисел элементов в каждом из них, уменьшенной на число элементов пересечения этих множеств.

Приведем без вывода формулу для числа элементов в объединении трех множеств:

(3)

Пример 1. Из 32 студентов группы 12 человек успешно сдали зачет по легкой атлетике, а 15 — по анатомии. 8 студентов получили неудовлетворительные отметки по обоим предметам. Сколько студентов имеют академическую задолженность?

Решение: Пусть множество – множество студентов, получивших зачет по легкой атлетике. Пусть множество – множество студентов, получивших зачет по анатомии. Тогда – множество студентов, получивших зачет или по легкой атлетике или по анатомии. По формуле получаем - число студентов, сдавших зачет и по легкой атлетике и по анатомии. Тогда – число студентов, сдавших зачет только по легкой атлетике, а – число студентов, сдавших зачет только по анатомии. Таким образом – число студентов, имеющих академическую задолженность.

Пример 2. Из 35 студентов на экзамене получили оценку «5» по математике 14 студентов, по анатомии 15 студентов, по педагогике – 18 студентов, по математике и анатомии – 7 студентов, по математике и педагогике – 9 студентов, по анатомии и педагогике – 6, по всем трем предметам 4 студента. Сколько студентов получили хотя бы по одной отличной оценке?

Решение: Пусть множество – множество студентов, получивших отличную оценку по математике. Пусть множество – множество студентов, получивших отличную оценку по физике. Пусть множество – множество студентов, получивших отличную оценку по педагогике. Тогда – множество студентов, получивших отличную оценку по математике и физике, – множество студентов, получивших отличную оценку по математике и педагогике, – множество студентов, получивших отличную оценку по физике и педагогике, – множество студентов, получивших отличную оценку по всем трем предметам. Тогда

Второе основное правило комбинаторики – правило произведения – касается подсчета числа кортежей, которые можно составить из элементов данных конечных множеств. Рассмотрим сначала такую задачу: сколько пар вида можно составить из элементов множеств и . Запишем все эти пары в виде таблицы, которая состоит из строк, в каждой из которых содержится элементов. Значит, общее число пар равно .

Итак, число упорядоченных пар, которые можно составить из элементов – множества и – множества , равно , т. е. произведению числа элементов множества на число элементов множества . Множество упорядоченных пар, составленных из элементов множеств и , мы назвали в §1 декартовым произведением этих множеств и обозначили . Поэтому доказанное утверждение можно записать так: (4)

Справедливо и более общее утверждение, называемое правилом произведения:

(5)

В комбинаторике равенство (4) обычно формулируют следующим образом: если элемент можно выбрать способами, а элемент можно выбрать способами, то упорядоченную пару можно выбрать способами.

Пример 3. В гардеробе имеются три костюма и две рубашки. Сколькими способами можно выбрать одежду, состоящую из костюма и рубашки?

Решение: Чтобы решить задачу, обозначим костюмы числами 1, 2 и 3, а рубашки — буквами а и в. Тогда каждый вариант одежды, включающий костюм и рубашку, задается парой, состоящей из числа и буквы. Число пар такого вида по правилу произведения равно . Вот эти варианты: .

Иногда для решения задач приходится пользоваться обобщенным правилом произведения. Бывает, что хотя различные варианты выбора элемента определяются уже сделанным выбором элемента , число способов выбрать при любом выборе одно и то же. В этом случае пару тоже можно выбрать способами, где — число способов выбрать элемент , a — число способов выбрать элемент после того, как элемент уже выбран.

Пример 4. Найдем число слов, содержащих 4 буквы, в которых любые две соседние буквы различны (число букв в алфавите равно 33; при этом допускаются и слова, лишенные смысла, например «ваха»).

Первую букву слова можно выбрать 33 способами. После того как она выбрана, следующую букву можно выбрать лишь 32 способами, так как повторить выбранную букву нельзя. Третья буква отлична от второй, хотя и может совпадать с первой, а потому ее можно выбрать 32 способами, равно как и четвертую. Поэтому общее число способов выбора равно .

Задания для практических занятий и самостоятельного решения.

12. Из 40 студентов группы 35 человек успешно сдали экзамен по математике, а 37 — по анатомии. Двое студентов получили неудовлетворительные отметки по обоим предметам. Сколько студентов имеют академическую задолженность?

13. Из 80 студентов 40 играют в футбол, а 50 — в волейбол, причем 27 студентов играют и в футбол, и в волейбол. Сколько студентов играет хотя бы в одну из этих игр? Сколько студентов играет лишь в одну из этих игр?

14. Из 100 студентов английский язык изучают 28 человек, немецкий — 30, французский — 42, английский и немецкий — 8, английский и французский — 10, немецкий и французский — 5, все три языка изучают трое студентов. Остальные студенты изучают испанский язык. Сколько студентов изучают испанский язык?

15. Каждый из студентов группы знает хотя бы один язык, причем 6 студентов изучают английский язык, немецкий — 6, французский — 7, английский и немецкий — 4, английский и французский — 2, немецкий и французский — 3, все три языка изучает один студент. Сколько студентов учится в группе? Сколько студентов изучают только один язык?

16. Имеется семь видов конвертов без марок и три вида марок. Сколькими способами можно выбрать конверт и марку для посылки письма?

17. Сколькими способами можно из слова «здание» выбрать две буквы, одна из которых гласная, другая – согласная?

18. Сколькими способами можно указать на шахматной доске два квадрата — белый и черный?

19. Из 10 слов мужского рода, 7 женского и 9 среднего рода надо выбрать одно слово, по одному слову каждого рода. Сколькими способами это можно сделать?