Элементы комбинаторики

§1. Декартово произведение двух множеств

Рассмотрим пример. Число 35 записывается с помощью двух цифр 3 и 5. Эти цифры следует записывать в определенном порядке: сначала 3, а потом 5. Если их переставить, получится другое число 53. Говорят, что — упорядоченная пара чисел. Упорядоченную пару чисел и будем записывать следующим образом: . В число 44 входят две одинаковые цифры. Они образуют упорядоченную пару . Таким образом, в упорядоченных парах числа могут повторяться.

Упорядоченные пары можно составлять не только из чисел, но и из элементов любых множеств. Пусть задано множество и пусть и — элементы этого множества (при этом может случиться, что ). Назовем упорядоченной парой, а и — компонентами или координатами этой пары.

Пары и считаются совпадающими в том и только том случае, когда и . Поэтому, если , то пары и различны.

Например, из букв множества можно составить девять упорядоченных пар: . Примером упорядоченной пары натуральных чисел может служить пара, составленная из числителя и знаменателя дроби — вместо того, чтобы писать , можно записать . При перестановке чисел 3 и 5 получается иная дробь .

Еще более общее понятие упорядоченной пары получается, если брать ее компоненты из различных множеств. Например, компоненту из множества , а — из множества . Пусть, например, заданы два множества и . Образуем из элементов этих множеств пары так, чтобы первая компонента пары принадлежала множеству , а вторая множеству . Все эти пары составляют множество: , которое является декартовым произведением множеств и , обозначают .

Определение. Декартовым произведением множеств и наз. множество , элементами которого являются все пары такие, что , , т. е. .

Если множества и совпадают, т.е. , то множество состоит из всех пар таких, что , .

Полагают, что для любого множества .

Декартово произведение множеств, вообще говоря, не обладает ни свойством коммутативности, ни свойством ассоциативности, т. е.:

1. если , то ;

2. если ни одно из множеств не пусто, то .

Действительно, элементами множества являются пары такие, что и , а элементами множества — пары , где и . Но, при пары и различны. Следовательно, если , то множества и различны.

Элементы декартова произведения двух конечных множеств удобно располагать в виде таблицы, где по вертикали располагают элементы множества , по горизонтали — элементы множества , а элементы множества пишут на пересечениях соответствующих строк и столбцов. Так, на таблице, приведенной ниже, изображены элементы декартова произведения множеств и .

Задания для практических занятий и самостоятельного решения.

1. Выпишите три упорядоченные пары действительных чисел, являющихся решением уравнения .

2. Даны два множества , . Запишите элементы множества .

3. Даны три множества , , . Запишите элементы множеств .

4. Докажите справедливость равенства: .

5. Верно ли равенство: , если ?

6. Составьте все дроби, числитель и знаменатель которых – разные однозначные числа из множества . Сколько дробей получилось?