Задача про рубашки и костюмы.

7 Рубашек дешевле одного костюма на 9 процентов, на сколько процентов 11 рубашек дороже одного костюма?

Пусть 1 рубашка стоит х рублей, а один костюм –  y рублей. 

7 рубашек дешевле одного костюма на 9 процентов, значит, стоимость 7 рубашек составляет

100-9=91% стоимости одного костюма.

Запишем уравнение:

7х=0,91y

x=0,13y

Мы выяснили, какую часть  от стоимости костюма составляет стоимость одной рубашки.

Но нас интересует, на сколько процентов 11 рубашек дороже одного костюма. Умножим обе части равенства на 11:

11х=1, 43 y=143/100 y.

Если стоимость одного костюма принять за 100%, то становится очевидным, что  11 рубашек дороже одного костюма на 43%.

Ответ: 43.

Решение текстовой задачи. Задача на трубы

Первая труба пропускает на 3л воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 648 л она заполняет на 3 мин. быстрее, чем первая труба?

В задачах «на трубы» мы имеем дело с тремя параметрами. Запишем их, и в скобках укажем их размерность:

• пропускная способность трубы –    объем жидкости, который труба пропускает в единицу времени (л/мин);

• объем резервуара, который необходимо заполнить, или, наоборот, освободить (л);

• время (мин).

Эти параметры связаны таким соотношением:

Объем резервуара = пропускная способность  время.

Заметим, что эти параметры аналогичны скорости, расстоянию и времени в задачах на движение, и связаны между собой таким же соотношением.

В задаче спрашивается, сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба – эту величину мы и примем за   . Поскольку по условию задачи первая труба пропускает на 3л воды в минуту меньше, чем вторая, то пропускную способность первой  трубы обозначим   .

Занесем все данные задачи в таблицу. Сначала заполним столбец, который содержит величину, выраженную через неизвестное   (это пропускная способность):

Теперь заполним столбец, параметры которого даны. Это объем резервуара:

Теперь параметры оставшегося стобца (времени) выразим через параметры первых двух (пропускную способность и объем резервуара):

Уравнение будем составлять для времени. По условию задачи вторая труба заполняет заполняет резервуар на 3 мин. быстрее, чем первая труба, следовательно величина     на 3 меньше,чем величина    .

Составим уравнение:

Перенесем все слагаемые влево:

Чтобы упростить вычисления, разделим числитель каждой дроби на 3:

Приведем к общему знаменателю:

Приравняем числитель к нулю, раскроем скобки и приведем подобные члены. Получим уравнение:

 ,    ,        – не подходит по смыслу задачи.

Ответ: 27 л/мин.

Задача про вклады.

Клиент А. сделал вклад в банке в размере 6200 рублей. Проценты по вкладу начисляются раз в год и прибавляются к текущей сумме вклада. Ровно через год на тех же условиях такой же вклад в том же банке сделал Б. Ещё ровно через год клиенты А. и Б. закрыли вклады и забрали все накопившиеся деньги. При этом клиент А. получил на 682 рубля больше клиента Б. Какой процент годовых начислял банк по этим вкладам?

Чтобы  увеличить число А на «p» процентов, нужно  к числу А прибавить р · 0,01А.   В результате  получим:

А+А · р·0,01=А·(1+ р · 0,01)

То есть при увеличении числа   А на «p» процентов мы получаем число

А·(1+ р · 0,01)- формула простого процента

 Если мы число А увеличиваем на «p» процентов два раза, то мы получаем

А·(1+ р · 0,01)² -формула сложного процента  (умножаем скобку  два раза)

Итак, что произошло с нашими клиентами.

Клиент А. сделал вклад 6200 рублей, и снял его через 2 года. Пусть банк начисляет х% процентов годовых. Тогда через 2 года клиент А. снял

6200·(1+ р · 0,01)² - рублей

Клиент Б. долго думал, и положил деньги в банк на год позже. Поэтому деньги в банке находились всего год и он снял

6200·(1+ р · 0,01) - рублей

Клиент А. снял на 682 рубля больше, чем клиент Б.

Получим уравнение:

6200·(1+ х · 0,01)² - 6200·(1+ х · 0,01)=682

Чтобы решить уравнение, введем замену: t=(1+ х · 0,01)

Получим квадратное уравнение относительно t:

Попробуем сократить коэффициенты, для этого разделим обе части уравнения на 62.

    – не подходит по смыслу задачи.

Вернемся к исходной переменной:

(1+ х · 0,01)=1,1

х=10

Ответ: 10%

Подобная задача была на диагностическом тестировании 1.03.2014 на ГИА

В среду акции компании подорожали на некоторое число процентов, а в четверг подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 64% дешевле, чем при открытии торгов в среду. На сколько процентов подорожали акции компании в среду?

Решение:

Пусть  « х»— стоимость акций компании при открытии торгов в среду, «а» — количество процентов, на которое подорожали акции компании в среду. Тогда стоимость акций в среду после подорожания:

Х+0,01аХ=Х(1+0,01а)

стоимость акций в четверг после снижения их стоимости:

Х(1+0,01а) -Х(1+0,01а) 0,01а= Х(1+0,01а)( 1-0,01а)=Х(1-0,0001а² )

Помимо этого известно, что акции в результате стали стоить дешевле на 64%, чем при открытии торгов в среду, то есть фактически стали составлять 36% от первоначальной цены:

Х(1-0,0001а² )=0,36Х

1-0,0001а² =0,36

1-0,36=0,0001а²

0,0001а² =0,64

а²=0,64:0,0001

а² =6400

а=80 Ответ: 80%