
- •Дихтярь м.Б., доцент, канд. Физ.-мат. Наук
- •8. Найдите все натуральные числа, последняя десятичная цифра которых 0 и, которые имеют 15 натуральных делителя (включая единицу и само число).
- •9. Найдите все натуральные числа, которые делятся на 42 и имеют ровно 42 натуральных делителей (включая единицу и само число).
- •Упражнения
Подготовка к ЕГЭ.
Решение одного из типов задач в задании С 6.
Дихтярь м.Б., доцент, канд. Физ.-мат. Наук
Рассмотрим
некоторые задачи ЕГЭ, в которых
используется следующее. Любое натуральное
число
можно единственным способом представить
в виде
,
где
– простые числа,
– натуральные числа.
Число
делителей числа
,
где
– простые числа,
– натуральные числа, включая единицу
и число n,
равно произведению
.
Доказательство.
Любой делитель числа
можно представить в виде
где
принимают независимо друг от друга
значения
По правилу произведения (комбинаторика) число делителей числа n, включая единицу и число n, равно произведению .
Равенство называется разложением натурального числа n на простые множители.
Найдите число делителей числа 12!, включая единицу и само число.
Решение. Разложим число 12! на простые множители. Имеем
Так
как
то число делителей числа 12!, включая
единицу и само число 12!, равно произведению
Ответ.792.
Формулы, используемые при решении задач
1.
Сумма
первых
членов
геометрической прогрессии
,
со знаменателем
равна
(1)
2.
(2)
Доказательство.
Формула (2) доказана.
3.
(3)
Доказательство.
Формула (3) доказана.
4.
(4)
Доказательство.
Формула (4) доказана.
5.
(5)
Доказательство.
Формула (5) доказана.
Задачи
1. У натурального числа n ровно 6 натуральных делителей (включая единицу и само число). Сумма этих делителей равна 798. Найдите все такие числа.
Решение.
Пусть искомое натуральное число
представлено в виде
,
где
– простые числа,
–
натуральные числа. Число делителей
числа n,
включая единицу и число n,
равно
.
Рассмотрим два случая.
1.
Из условия задачи, имеем
1)
Так как
и
– натуральные, не равные единицы числа,
то
и
.
Итак,
и
2)
Найдём
.
Делителями
числа n
являются
числа:
Воспользуемся формулой (1)
По
условию задачи
Так
как
простое число и
,
то
.
Простое число
может принимать хотя бы одно из значений:
2; 3. Проверкой убеждаемся, что ни
ни
не удовлетворяют уравнению
Искомое число не может принимать вид
2.
Из условия задачи имеем
.
1)
Так как
и
– натуральные, не равные единицы числа,
то
и
Найдём
и
.
Так как
и
– натуральные не равные единицы числа,
то
(или
)
может принимать значение, равное 1 или
2. Пусть
и
.
Тогда
2)
Найдём
и
.
Делителями
числа n
являются
числа:
Воспользуемся формулой (2)
Из
условия задачи имеем
(6)
3) Оценим . Рассмотрим (6).
Так как и простые числа, число 798 чётное, не кратно 4 и
нечётное
число, то из (6) следует, что
и
Тогда
.
Так
как
,
то
(7)
Так
как
простое число, то
,
а
Так
как
и простое число
,
то из (7) следует:
4)
Число 113 – простое число и если
,
то из (7) следует, что
.
Рассмотрим
число
где
а
,
то есть рассмотрим число
.
Число
делителей числа
равно 6 и простые числа
,
удовлетворяют
условию
.
Итак, искомое число .
5)
Число 5 – простое число и если
,
то из (7) следует, что
.
Так
как
простое число, то из последнего уравнения
следует, что
.
Рассмотрим число где , а , то есть рас-
смотрим
число
.
Число делителей числа
,
равно 6 и простые числа
удовлетворяют
условию
Итак, искомое число .
6) Проверим, существует ли натуральные числа отличные от 452 и 605, которые удовлетворяют условию задачи.
Пусть
.
Так как
– нечётное число, то
(случай, когда
уже рассмотрен). Из равенства
следуют следующие случаи
-
19
2
41 – простое
37– простое
13– простое
5 случай рассмотрен
1– не простое число
Число может принимать хотя бы одно из значений: 19, 21, 57.
Рассмотрим квадратное уравнение
.
Так
как
простое число, то рассматриваемое
уравнение имеет решение, если дискриминант
,
где
натуральное число, и
простое число.
Имеем
.
Рассмотрим уравнение
а)
Если
то
Из уравнения
следует, что
не натуральное число.
б)
Если
то
Находим:
а
.
Число
не является простым числом.
в)
Если
,
то
Находим:
а
.
Число
является простым числом, при этом
Рассмотрим
число
где
а
,
то есть рассмотрим число
.
Число делителей числа
,
равно 6 и простые числа
удовлетворяют
условию
Итак, искомое число .
Ответ. 452; 605; 637.
2. У натурального числа n ровно 6 натуральных делителей (включая единицу и само число). Сумма этих делителей равна 3906. Найдите все такие числа.
Решение. Пусть искомое натуральное число представлено в виде , где – простые числа, – натуральные числа. Число делителей числа n, включая единицу и число n, равно .
Рассмотрим два случая.
1. Из условия задачи имеем .
1) Так как и – натуральные, не равные единицы числа, то и . Итак, и
2) Найдём .
Делителями числа n являются числа:
Воспользуемся формулой (1)
Из
условия задачи имеем
. Рассмотрим
уравнение
.
Так как
простое число, 3905 нечётное число, то
и
.
Из последнего неравенства следует, что
.
Простое число
может
принимать хотя бы одно из значений: 3,
5. Проверкой убеждаемся, что только
удовлетворяют уравнению
Итак,
Рассмотрим
число
.
Число делителей числа
,
равно 6 и простое число
,
удовлетворяют уравнению
Итак,
искомое число
2. Из условия задачи имеем, .
1)Так
как
и
– натуральные, не равные единицы числа,
то
и
Найдём и . Так как и – натуральные, не равные единицы числа, то (или ) может принимать одно из значений 1 или 2. Пусть и . Тогда
2) Найдём и .
Делителями числа n являются числа:
Воспользуемся формулой (2)
Из условия задачи имеем
(8)
3) Оценим . Рассмотрим (8).
Так как и простые числа, число 3906 чётное, не кратно 4 и нечётное число, то из (8) следует, что и Тогда .
Из
(8) имеем
(9)
Так
как
простое число, то
,
а
.
Так как
и простое число
,
то из (9) следует:
4)
Число 557 – простое число и если
,
то из (9) следует,
что .
Рассмотрим
число
где
,
а
,
то есть рассмотрим число
.
Число
делителей числа
,
равно 6 и простые числа
,
удовлетворяют
условию
.
Итак, искомое число .
5)
Число 5 – простое число и если
,
то из (9) следует, что
.
Из последнего уравнения следует, что рассматриваемое квадратное уравнение не имеет корнями простых чисел.
6) Проверим, существует ли натуральные числа отличные от 2228, которые удовлетворяют условию задачи.
Пусть
.
Так как
– нечётное число, то из равенства
следуют следующие случаи
-
7
557 – простое
433 – простое
31
125 – не простое
185 – не простое
41 – простое
61 – простое
13 – простое
17 – простое
5 – простое
1 – не простое
Отметим:
случаи, когда
,
или
уже
рассмотрены.
Итак, может принимать хотя бы одно из значений: 9, 63, 93, 217, 279.
Рассмотрим квадратное уравнение
.
Так как простое число, то рассматриваемое квадратное уравнение имеет решение, если дискриминант , где натуральное число, и простое число.
Проверкой убеждаемся, что рассматриваемое квадратное уравнение не имеет корнями простых чисел.
Ответ. 2228; 3125.
3. У натурального числа n ровно 6 натуральных делителей (включая единицу и само число). Сумма этих делителей равна 3500. Найдите это число
Решение. Пусть искомое натуральное число представлено в виде , где – простые числа, – натуральные числа. Число делителей числа n, включая единицу и число n, равно .
Рассмотрим два случая.
1. Из условия задачи имеем .
1) Так как и – натуральные, не равные единицы числа, то и . Итак, и
2) Найдём .
Делителями числа n являются числа:
Воспользуемся формулой (1)
По
условию задачи
Рассмотрим
уравнение
.
Так как
простое число, и 3499 нечётное число, то
и
.
Из последнего неравенства следует, что
.
Итак, простое число
может принимать хотя бы одно из значений:
3, 5. Проверкой убеждаемся, что ни
ни
не удовлетворяют уравнению
Итак, искомое число не может принимать вид
2. По условию .
1)Так как и – натуральные, не равные единицы числа, то и
Найдём и . Так как и –
натуральные, не равные единицы числа, то (или ) может принимать одно из значений 1 или 2. Пусть и . Тогда
2) Найдём и .
Делителями числа n являются числа: Воспользуемся формулой (2)
Из
условия задачи имеем
(10)
3) Оценим . Рассмотрим (10).
Так
как
и
простые числа, число 3500 чётное, кратное
4,
нечётное число, то из (10) следует, что
Из
(10) имеем
(11)
Так
как
простое число, то
,
а
.
Так как
и простое число
то из (11) следует:
4) Так как числа 3 и 499 – простые числа, то рассмотрим следующие случаи.
а)
Если
,
то из (11) следует, что
Рассматриваемое квадратное уравнение не имеет корнями простых чисел.
б)
Если
,
то из (11) следует, что
– простое число.
Рассмотрим
число
где
,
а
,
то есть рассмотрим число
.
Число
делителей числа
,
равно 6 и числа
,
удовлетворяют
условию
.
Итак, искомое число .
5) Проверим, существует ли натуральные числа, отличные от 1996, которые удовлетворяют условию задачи.
Отметим,
что
.
Пусть
.
Так как
– нечётное число,
– чётное число, то из равенства
следуют следующие случаи (отметим:
случаи, когда
,
уже
рассмотрены).
-
139 – простое
27 – не простое
99 – не простое
19 – простое
Итак, может принимать хотя бы одно из значений: 25, 175.
Корнем квадратного уравнения , где принимает одно из значений 25 или 175, не является простое число.
Ответ. 1906.
4. У натурального числа n ровно 7 натуральных делителей (включая единицу и само число). Сумма этих делителей равна 19 531. Найдите это число.
Решение. Пусть искомое натуральное число представлено в виде , где – простые числа, – натуральные числа. Число делителей числа n, включая единицу и число n, равно .
1.
Из условия задачи имеем
.
1)
Так как
и
– натуральные, не равные единицы числа,
то
и
.
Итак,
и
2) Найдём .
Делителями
числа n
являются
числа:
Воспользуемся формулой (1)
По
условию задачи
Рассмотрим уравнение
Так
как
простое число, и
,
то
.
Итак,
может принимать хотя бы одно из следующих
значений: 2, 3, 5.
Проверкой
убеждаемся, что только
удовлетворяет
уравнению
Рассмотрим
число
где
,
то есть рассмотрим число
.
Число
делителей числа
равно 6 и простое число
,
удовлетворяют уравнению
Итак, искомое число .
Ответ.
5. У натурального числа n ровно 8 натуральных делителей (включая единицу и само число). Сумма этих делителей равна 1620. Найдите все такие числа.
Решение. Пусть искомое натуральное число представлено в виде
, где – простые числа, – натуральные числа. Число делителей числа n, включая единицу и число n, равно .
Рассмотрим три случая.
1.
По условию
.
1)
Так как
и
– натуральные, не равные единицы числа,
то
и
.
Итак,
и
2) Найдём .
Делителями
числа n
являются
числа:
Воспользуемся формулой (1)
По
условию задачи
Рассмотрим
уравнение
.
Так как
простое число, 1619 нечётное число, то
и
.
Из последнего неравенства следует, что
.
Проверкой убеждаемся, что
не удовлетворяет уравнению
Искомое число не может принимать вид
2.
По условию
.
1)Так
как
и
– натуральные, не равные единицы числа,
то
и
Найдём
и
.
Так как
и
– натуральные, не равные единицы числа,
то
(или
)
может принимать одно из значений 1 или
3. Пусть
и
.
Тогда
2) Найдём и .
Делителями числа n являются числа:
Воспользуемся формулой (3)
Из
условия задачи имеем
3)
Отметим, что
Рассмотрим уравнение
(12)
Очевидно,
числа
одинаковой чётности.
Пусть числа чётные.
Так
как числа
чётные, то из уравнения (12) следует, что
число
нечётное, что возможно только в случае,
когда
.
Если
,
то из уравнения (12) следует, что
Так
как числа
чётные и
то возможны следующие случаи:
а)
б)
не простое число.
в)
Из
а) и б) следует, если
,
то не существует простого числа
которое удовлетворяет уравнению (12).
Пусть числа нечётные.
Число
нечётное, если
Если
,
то
и
.
Из уравнения (12) следует, что
Число 107 – простое число.
4)
Рассмотрим число
где
,
а
,
то есть рассмотрим число
.
Число
делителей числа
,
равно 8 и простые числа
,
удовлетворяют
условию
Искомое число .
3.
По условию
.
Так
как
и
– натуральные не равные единицы числа,
то
и
1)
Найдём
и
.
Так как
,
–
натуральные, не равные единицы числа,
то из равенства
следует, что
Таким образом,
2)
Найдём
,
и
Делителями числа n являются числа:
Воспользуемся формулой (4)
По
условию задачи имеем
3) Рассмотрим уравнение
(13)
Так
как
целые числа и правая часть уравнения
(13) равна
,
то один или два сомножителя левой части
уравнения (13) чётные.
Отметим,
что число
,
где
простое число, нечётное только в случае,
когда
.
Так как числа
простые и разные, то только один
сомножитель левой части уравнения (13)
нечётный.
Пусть
число
нечётное, тогда
.
Если
,
то из уравнения (13) следует:
.
Так как числа
разные и
,
то
.
Тогда
чётные числа. Поэтому
возможны
следующие случаи
|
|
|
|
|
5 простое |
|
89 простое |
|
17 простое |
|
29 простое |
|
53 простое |
|
9 не простое |
Если
,
то из таблице следует, что уравнение
(13) имеет два решения – это
или
.
Рассмотрим
число
где
,
то есть рассмотрим число
.
Число
делителей числа
,
равно 8 и простые числа
,
удовлетворяют
условию
.
Искомое число .
Рассмотрим
число
где
,
то есть рассмотрим число
.
Число
делителей числа
,
равно 8 и простые числа
,
удовлетворяют
условию
.
Искомое число .
Ответ. 856; 890; 986.
6. У натурального числа n ровно 9 натуральных делителей (включая единицу и само число). Сумма этих делителей равна 9517. Найдите такое число.
Решение. Пусть искомое натуральное число представлено в виде , где – простые числа, – натуральные числа. Число делителей числа n, включая единицу и число n, равно .
Рассмотрим два случая.
1.
По условию
.
1)
Так как
и
– натуральные, не равные единицы числа,
то
и
.
Итак,
и
2) Найдём .
Делителями
числа n
являются
числа:
Воспользуемся формулой (1)
По
условию задачи
Рассмотрим
уравнение
.
Из неравенства
следует,
что
.
Проверкой убеждаемся, что ни
ни
не удовлетворяют уравнению
.
Искомое число не может принимать вид
2.
По условию
.
1)Так
как
и
– натуральные, не равные единицы числа,
то
и
Найдём
и
.
Так как
и
– натуральные, не равные единицы числа,
то
,
.
2) Найдём и .
Делителями числа n являются числа:
Воспользуемся формулой (5)
По условию задачи
Так
как последнее уравнение симметрично
относительно
а числа 307, 31 – простые, то
находим из системы
Так
как
простые числа, то последней системе,
удовлетворяют числа
Рассмотрим
число
где
то
есть рассмотрим число
Число
делителей числа
,
равно 9 и простые числа
удовлетворяют
условию
Искомое число .
Ответ. 7225.
7. Докажите, что натуральное число имеет нечётное число делителей (включая единицу и само число) тогда и только тогда, когда оно является квадратом натурального числа.
Доказательство.
Пусть натуральное число а,
имеет нечётное число делителей, включая
единицу и число а.
Пусть
,
где
– простые числа,
–
натуральные числа. Число делителей
числа а,
включая единицу и число а,
равно
.
Так
как
нечётное число, то все числа
являются нечётными, а тогда все числа
являются чётными.
Пусть
.
Тогда
Доказали, что число а является квадратом натурального числа.
Пусть натуральное число а является квадратом натурального
числа
,
то
есть
Пусть
,
где
– простые числа,
–
натуральные числа. Тогда
Число
делителей числа а,
включая единицу и число а,
равно
.
Так как
– нечётные
числа, то число
являются нечётным числом.
Доказали, что квадрат натурального числа имеет нечётное число делителей (включая единицу и само число).