3 Полиномиальная модель 3 степени
3.1 Для проверки модели надо найти модельные значения, подставив в подобранную модель y = -0,0005x3 + 0,0267x2 + 0,0814x + 1,3317 , R² = 0,9646 вместо исходные значения времени (1,2,…,21) и найти разности ( ) между исходными (таблица 1) и модельными значениями уровней ряда динамики. Результаты расчета приведены в таблице 5. Полиномиальная модель 3 степени изображена на рисунке 6.
Таблица 5 - Исходные, модельные значения уровней и остатки ряда динамики
t |
Исходные уровни yt |
Модальные значения |
Остатки |
Ϭmed |
1 |
1 |
1,4393 |
-0,4393 |
- |
2 |
2 |
1,5973 |
0,4027 |
+ |
3 |
2 |
1,8027 |
0,1973 |
+ |
4 |
2 |
2,0525 |
-0,0525 |
- |
5 |
3 |
2,3437 |
0,6563 |
+ |
6 |
2 |
2,6733 |
-0,6733 |
- |
7 |
3 |
3,0383 |
-0,0383 |
- |
8 |
3 |
3,4357 |
-0,4357 |
- |
9 |
4 |
3,8625 |
0,1375 |
+ |
10 |
4 |
4,3157 |
-0,3157 |
- |
11 |
5 |
4,7923 |
0,2077 |
+ |
12 |
6 |
5,2893 |
0,7107 |
+ |
13 |
6 |
5,8037 |
0,1963 |
+ |
14 |
6 |
6,3325 |
-0,3325 |
- |
15 |
6 |
6,8727 |
-0,8727 |
- |
16 |
7 |
7,4213 |
-0,4213 |
- |
17 |
9 |
7,9753 |
1,0247 |
+ |
18 |
9 |
8,5317 |
0,4683 |
+ |
19 |
8 |
9,0875 |
-1,0875 |
- |
20 |
10 |
9,6397 |
0,3603 |
+ |
21 |
10 |
10,1853 |
-0,1853 |
- |
Итого |
- |
- |
-0,4923 |
|
3.2 Для проверки случайности колебаний уровней остаточной последовательности будем использовать критерий «серий», основанный на медиане выборки.
Для этого расположим уровни остаточной последовательности (таблица 6) в порядке возрастания в вариационный ряд.
Таблица 6 - Уровни остаточной последовательности в порядке возрастания
Упорядоченные остатки |
Упорядоченные остатки |
-1,0875 |
0,1375 |
-0,8727 |
0,1963 |
-0,6733 |
0,1973 |
-0,4393 |
0,2077 |
-0,4357 |
0,3603 |
-0,4213 |
0,4027 |
-0,3325 |
0,4683 |
-0,3157 |
0,6563 |
-0,1853 |
0,7107 |
-0,0525 |
1,0247 |
-0,0383 |
|
|
|
Находим в этом ряду медиану: = - 0,0383. Как видно из полученной последовательности общее число «серий» = 13; а протяженность самой длинной «серии» Kmax =3.
kmax : 3 < 7,66332
(9)
𝜈 : 13 > 6,61731
Следовательно, ряд динамики ε отклонений от тренда состоит из случайных величин.
3.3 Рассчитаем выборочные коэффициенты асимметрии (АВ) и эксцесса (ЭВ) и их среднеквадратические ошибки:
Таблица 7 - Данные для расчетов центральных моментов
|
|
|
|
|
|
|
|
-0,416 |
0,173 |
-0,072 |
0,030 |
0,426 |
0,181 |
0,077 |
0,033 |
0,220 |
0,0487 |
0,011 |
0,002 |
-0,029 |
0,001 |
-2,453 |
7,130 |
0,679 |
0,462 |
0,314 |
0,213 |
Продолжение таблицы 7
|
|
|
|
-0,650 |
0,422 |
-0,274 |
0,178 |
-0,015 |
0,000 |
-3,279 |
4,872 |
-0,412 |
0,170 |
-0,070 |
0,029 |
0,161 |
0,026 |
0,004 |
0,010 |
-0,292 |
0,085 |
-0,025 |
0,007 |
0,231 |
0,053 |
0,012 |
0,003 |
0,734 |
0,540 |
0,396 |
0,290 |
0,220 |
0,048 |
0,010 |
0,002 |
-0,309 |
0,095 |
-0,030 |
0,010 |
-0,849 |
0,721 |
-0,613 |
0,520 |
-0,398 |
0,158 |
-0,063 |
0,025 |
1,048 |
1,099 |
1,151 |
1,207 |
0,492 |
0,242 |
0,119 |
0,058 |
-1,064 |
1,132 |
-1,205 |
1,281 |
0,384 |
0,147 |
0,056 |
0,021 |
-0,162 |
0,026 |
-0,004 |
0,001 |
Итого |
5,831 |
-0,203 |
3,913 |
εсред= |
-0,023 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
m2= |
0,2777 |
Центральный момент второго порядка |
|
|
|||||||
m3= |
-0,01 |
Центральный момент третьего порядка |
|
|
|||||||
m4= |
0,1864 |
Центральный момент четвертого порядка |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ав= |
-0,0662 |
Выборочный коэффициент асимметрии |
|
|
|||||||
Эв= |
-0,5834 |
Выборочный коэффициент эксцесса |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ϬA= |
0,46466 |
Среднеквадратическая ошибка коэффициента асимметрии |
|||||||||
ϬЭ= |
0,75546 |
Среднеквадратическая ошибка коэффициента эксцесса |
|||||||||
|Ав| |
: 0,0662 |
< |
0,697 |
|Эв+(6/(21+1))| |
: 0,3107 |
< |
1,1332 |
Так как система неравенств выполняется, то гипотеза о близости эмпирического распределения остатков ряда динамики к нормальному принимается.
3.4 Проверка независимости значений остаточной случайной последовательности, т.е. отсутствия существенной автокорреляции, осуществляется с помощью критерия Дарбина – Уотсона. Критерий Дарбина – Уотсона связан с гипотезой о существовании автокорреляции первого порядка, то есть автокорреляции между соседними остаточными членами ряда.
Таблица 8 - Данные для расчета критерия Дарбина – Уотсона
-
№
1
1,4393
-0,4393
-
-
-
0,19298449
2
1,5973
0,4027
-0,4393
0,842
0,708964
0,16216729
3
1,8027
0,1973
0,4027
-0,2054
0,042189
0,03892729
4
2,0525
-0,0525
0,1973
-0,2498
0,0624
0,00275625
5
2,3437
0,6563
-0,0525
0,7088
0,502397
0,43072969
6
2,6733
-0,6733
0,6563
-1,3296
1,767836
0,45333289
7
3,0383
-0,0383
-0,6733
0,635
0,403225
0,00146689
8
3,4357
-0,4357
-0,0383
-0,3974
0,157927
0,18983449
9
3,8625
0,1375
-0,4357
0,5732
0,328558
0,01890625
10
4,3157
-0,3157
0,1375
-0,4532
0,20539
0,09966649
11
4,7923
0,2077
-0,3157
0,5234
0,273948
0,04313929
12
5,2893
0,7107
0,2077
0,503
0,253009
0,50509449
13
5,8037
0,1963
0,7107
-0,5144
0,264607
0,03853369
14
6,3325
-0,3325
0,1963
-0,5288
0,279629
0,11055625
15
6,8727
-0,8727
-0,3325
-0,5402
0,291816
0,76160529
16
7,4213
-0,4213
-0,8727
0,4514
0,203762
0,17749369
17
7,9753
1,0247
-0,4213
1,446
2,090916
1,05001009
18
8,5317
0,4683
1,0247
-0,5564
0,309581
0,21930489
19
9,0875
-1,0875
0,4683
-1,5558
2,420514
1,18265625
20
9,6397
0,3603
-1,0875
1,4478
2,096125
0,12981609
21
10,1853
-0,1853
0,3603
-0,5456
0,297679
0,03433609
Итого
-
-
-
-
12,96047
5,84331813
При уровне значимости по таблицам значений критерия
Дарбина
- Уотсона можно определить при
и
(число факторов) критические значения
.
Получены
следующие промежутки внутри интервала
[0;4].
0
2,58
4
2,78
Нет оснований отклонять нулевую гипотезу (автокорреляция отсутствует).
3.5 Проверку равенства математического ожидания случайной остаточной последовательности нулю, распределенной по нормальному закону, осуществим на основе - критерия Стьюдента.
tф= |
=3,04157105 |
tкрит= |
2,085963441 |
|
|
tф>tкрит |
|
Получим, что 3,04157 > 2,086 , т.е. нет оснований при заданной доверительной вероятности отвергнуть гипотезу о равенстве нулю математического ожидания случайной остаточной последовательности, распределенной по нормальному закону. = 11,44%