8.3 Структура ряда динамики. Методы выявления основной тенденции

Уровни ряда динамики складываются под влиянием различных факторов: эволюционных, периодических, случайных. Уровень ряда динамики теоретически можно разложить на составляющие:

y(t) = f(t) + S(t) + e(t) (82)

где f(t) – детерминационная составляющая (тренд). Она складывается под влиянием эволюционных факторов и характеризует основную тенденцию развития – действующее длительное время направление изменения показателя.

S(t) – колебательная составляющая, складывающаяся под влиянием периодически повторяющихся факторов. Если период менее года, то она называется сезонностью. Если больше года – циклом.

e(t) – случайная составляющая, складывающаяся под влиянием различных случайных факторов.

Основная задача статистики при изучении динамики явлений состоит в выделении основной тенденции развития и построения ее модели.

В социально – экономических рядах динамики встречаются тенденции двух видов – тенденция в среднем; тенденция в отклонении от средней.

Перед тем, как выделить тенденцию в ряде динамики, необходимо проверить ее наличие. Для этого применяются различные критерии:

• Критерий знаков разности;

• Критерий серий;

• Критерий Фостера – Стюарта.

После установления наличия тенденции проводят ее выделение следующими методами:

1 Укрупнение интервалов.

По ряду динамики берут более крупные периоды времени и определяют средние значения за эти периоды. Анализ полученных средних позволяет сделать вывод о направлении тенденции.

2 Метод скользящих средних

Выбирают нечетное число уровней ряда с начала ряда. Рассчитывают по ним среднюю и записывают ее посередине. Смещаются на один уровень вправо и опять рассчитывают средние и т.д. В результате получается сглаженный ряд скользящих средних, анализ которого позволяет сделать вывод о характере тенденции. Скользящая средняя вычисляется по формуле (для трех членов):

₍₈₃₎

Основной недостаток этого метода – уменьшение уровней ряда, т.е. потеря первых и последних уровней ряда. Для восстановления потерянных уровней применяют следующие формулы (для трехчленной средней):

(84)

3 Аналитическое выравнивание

Этот метод позволяет построить модель основной тенденции как функцию от времени t (тренд). Коэффициенты модели рассчитываются методом наименьших квадратов.

8.4 Построение тренда методом наименьших квадратов. Оценка качества модели. Прогнозирование

Задача аналитического выравнивания сводится к следующему – определение на основе фактических данных формы (вида) гипотетической функции = f(t), способной наиболее адекватно отразить тенденцию развития исследуемого показателя; нахождение по эмпирическим данным параметров указанной функции (уравнения); расчет по найденному уравнению теоретических (выравненных) уровней.

К качестве моделей наиболее часто применяются функции (таблица 61).

Таблица 61

Функции для модели тренда

Название функции	Вид функции	Формула
Прямая линия		(2)
Парабола 2-го порядка	или
Парабола 3-го порядка
Гипербола
Показательная
Степенная

Тип модели определяется графически или с помощью абсолютного прироста и темпа роста. Если абсолютные приросты (цепные) приблизительно одинаковы, то берется линейная модель. Если темпы роста приблизительно одинаковы, то берется степенная (возрастает) или гиперболическая (убывает).

Параметры модели a_i рассчитываются методом наименьших квадратов, суть которого состоит в том, чтобы сумма квадратов отклонений фактических данных и полученных по модели должна быть минимальна.

При нахождении минимума функции получается системы нормальных уравнений. Для упрощения расчетов показатель времени t задается так, чтобы сумма по времени равнялась 0 (отчет времени с середины ряда динамики). Например:

Уровни t

четное нечетное

y₁ -5 -2

y₂ -3 -1

y₃ -1 0

y₄ 1 1

y₅ 3 2

y₆ 5 ∑t =0

∑t=0

После такого задания времени системы нармальных уравнений для моделей примут вид:

Для линейной модели:

(85)

Для параболы:

(86)

Для характеристики качества модели определяют

1. стандартную ошибку модели:

(87)

n – число уровней

k – число параметров модели.

2) относительную ошибку модели, характеризующую среднюю степень разброса фактических данных вокруг модели:

(88)

Если V_σ < 15%, то модель является хорошей, ее можно использовать для прогнозирования. Для построения прогноза по тренду необходимо в полученную модель подставить будущее значение времени.