7.7 Определение необходимой численности выборки
При проведении выборочного обследования возникает вопрос, сколько нужно отобрать единиц в выборку, чтобы результаты обследования имели заранее заданную точность, т.е. предельная ошибка не превышала определенного значения. Для определения необходимой численности выборки применяются формулы, которые выводятся из предельной ошибки (59) и (60). Если подставить формулы из таблицы 54 в формулы (60), то можно выразить из них n.
В результате получатся формулы для вычисления необходимой численности повторной (65) и бесповторной (66) выборок при собственно-случайном отборе для количественных признаков. Для доли формулы аналогичны, отличаются только дисперсией.
;
(65)
.
(66)
Для других способов отбора формулы для расчета необходимой численности выборки аналогичны, изменяется только дисперсия.
Значения дисперсии при определении необходимой численности выборки достаточно часто бывает неизвестно. В этом случае ее определяют:
из предыдущего обследования на данную тему;
рассчитывают приближенно Sx2 ≈ (R/6)2 по пробному обследованию малого количества единиц;
неизвестную дисперсию для доли берут равной 0,25.
Типовые примеры
Пример 1:
Имеются данные выборочного собственно-случайного бесповторного обследования 30% работников коммерческого банка об их стаже работы. Результаты обследования представлены в таблице 56.
Таблица 56
Данные выборочного обследования по стажу работников банка
Стаж работы, лет |
До 3 |
3-5 |
5-7 |
7-9 |
Свыше 9 |
Итого |
Число работников, чел. |
10 |
48 |
28 |
10 |
4 |
100 |
С вероятностью 0,997 определить возможные пределы среднего стажа работы по всем работникам банка, а также возможные пределы для доли работников банка, имеющих стаж работы менее 5 лет.
Решение:
1 Для расчетов построим расчетную таблицу 57
Таблица 57
Расчетная таблица
Стаж, лет |
Число работ., fi |
Середина xi |
xi*fi |
_ (xi – x) |
_ (xi – x)2 |
_ (xi – x)2*fi |
До 3 |
10 |
2 |
20 |
- 3 |
9 |
90 |
3-5 |
48 |
4 |
192 |
- 1 |
1 |
48 |
5-7 |
28 |
6 |
168 |
1 |
1 |
28 |
7-9 |
10 |
8 |
80 |
3 |
9 |
90 |
Свыше 9 |
4 |
10 |
40 |
5 |
25 |
100 |
Итого |
100 |
- |
500 |
- |
- |
356 |
Средний стаж работников по выборке равен:
Дисперсия и СКО равны
Определим ошибки выборки. Так как вероятность Р= 0,997, то коэффициент доверия t = 3. Рассчитаем выборочную долю для признака – стаж работы менее 5 лет. Так как данный стаж работы имеют 1 и 2 группы работников в выборке, то w = m/n = (10+48)/100 = 0,58. Дисперсия выборочной доли 2w = w*(1 – w) = 0,58*0,42 =0,2434.
Определим предельную ошибку выборки для среднего
Определим предельную ошибку выборки для доли
Построим доверительный интервал для среднего.
Построим доверительный интервал для выборочной доли
Вывод: С вероятностью 0,997 можно утверждать, что средний стаж работы всех работников банка находится в пределах от 4,53 до 5,47 лет, а доля всех работников банка, имеющих стаж работы менее 5 лет, находится в пределах от 45,6% до 70,4%.
Пример 2
По данным пробного обследования среднее квадратическое отклонение веса нарезных батонов составило 15,4 г. Обследование бесповторное. Необходимо установить оптимальный объем выборки из партии нарезных батонов (2000 шт.), чтобы с вероятностью 0,997 предельная ошибка выборки не превысила 15 гр. веса 500-граммового батона.
Решение.
По условию
σ = 15,4 г.
= 15 гр., N
= 2000 шт.
=
500 г. Значение коэффициента доверия,
соответствующее вероятности 0,997, t
= 3
Подставляем значения в формулу для бесповторного отбора:
шт.
Итак, для соблюдения указанных условий требуется провести обследование 10 батонов.
Пример 3
На предприятии собственно-случайным выборочным образом обследовано 200 деталей. Доля негодных деталей составила 0,06. Определить среднюю ошибку выборки для доли. Как изменится средняя ошибка, если объем выборки увеличится в 3 раза.
Решение: Определим среднюю ошибку выборки
Определим среднюю ошибку выборки после изменения условий
Таким образом, средняя ошибка выборки снизилась на 0,007.