6.4 Изучение концентрации распределения признака

Концентрация распределения – это неравномерность распределения признака по группам при проведении группировки.

Оценка степени концентрации проводится графически с помощью построения кривой концентрации Лоренца.

Для ее построения необходимо определить:

1) доли групп по кол-ву единиц совокупности (dx_i) и накопленные доли (dx_i^н);

2) доли групп по значениям признака (dy_i) и накопленной доли по нему (dy_i^н). Эти доли определяются по результатам структурной группировки единиц совокупности по заданному признаку.

dy_i^н

Строятся кривая концентрации Лоренца и идеальная кривая равномерного распределения.

Рис. 4 Кривая Лоренца

Концентрация на графике характеризуется площадью S между равномерной кривой и кривой концентрации Лоренца. Чем эта площадь больше, тем больше концентрация. Оценка степени концентрации осуществляется с помощью коэффициентов:

Коэффициента Лоренца:

L=∑| dx_i – dy_i| / 2 , (55)

0<L<1

Коэффициента Джини:

G=1-[2·∑( dx_i· dy_i^н) / 10 000] + ∑( dx_i· dy_i) / 10 000. (56)

0≤G≤1

Если G<0,3 – слабая концентрация; G € [0,3; 0,5] – средняя концентрация;

G € (0,5; 1) – сильная концентрация.

Типовые примеры

Пример 1 .

По имеющимся данным о ценах товара в различных фирмах города (тыс. руб.) рассчитать абсолютные и относительные показатели вариации а также коэффициент асимметрии: 4,4 4,3 4,2 4,5 4,1 4,8 4,6 4,2 4,0 4,9

Решение:

Абсолютные показатели вариации.

R = x_max - x_min= 4,9 – 4,0 = 0,9 тыс. руб.

Определим среднюю цену товара

Для расчета остальных показателей вариации составим таблицу 42.

Таблица 42

Расчетная таблица

Цены товара в разных фирмах, хi
4,0	-0,4	0,16
4,1	-0,3	0,09
4,2	-0,2	0,04
4,2	-0,2	0,04
4,3	-0,1	0,01
4,4	0	0
4,5	0,1	0,01
4,6	0,2	0,04
4,8	0,4	0,16
4,9	0,5	0,25
Итого	-	0,8

Поскольку имеются отдельные значения признака, данные не сгруппированы, применим простые формулы показателей вариации:

Относительные показатели вариации:

Определим коэффициент асимметрии (Мо = 4,2):

Вывод: Средняя цена на товар по 10 магазинам составляет 4,4 тыс. руб. Средний разброс цены вокруг среднего уровня составляет 0,283 тыс. руб., максимальное различие в ценах 0,9 тыс. руб. Так как средняя степень разброса цены 6,4% <33%, то совокупность можно считать однородной по данному признаку. Распределение магазинов по цене на данный товар имеет незначительную правостороннюю асимметрию.

Пример 2.

Имеются данные распределения предприятий по численности промышленно-производственного персонала (таблица 43).

Таблица 43

Группировка предприятий по числу работающих

Число работающих, чел.	100-200	200-300	300-400	400-500	500-600	600-700	700-800
Число предприятий	1	3	7	30	19	15	5

Определить показатели вариации и асимметрии

Решение: Для расчетов построим расчетную таблицу 44.

Таблица 44

Расчетная таблица

Численность работников	Число предпр., fi	Середина xi	xi*fi	__ (xi – x)	_ (xi – x)2	_ (xi – x)2*fi
100-200	1	150	150	-360	129600	129600
200-300	3	250	750	-260	67600	202800
300-400	7	350	2450	-160	25760	180320
400-500	30	450	13500	-60	3600	108000
500-600	19	550	10450	40	1600	30400
600-700	15	650	9750	140	19600	294000
700-800	5	750	3750	240	57600	288000
Итого	80	-	40800	-	-	1233120

Средняя численность работников по совокупности составила

Дисперсия и СКО равны

Коэффициент вариации равен:

Определим Мо:

Определим коэффициент асимметрии:

Вывод: Средняя численность работников по данной совокупности равна 510 чел., средний разброс индивидуальных значений стажа работы вокруг средней составил 124 чел. Так как коэффициент вариации меньше 33 %, то распределение предприятий по численности работников однородно и имеет незначительную правостороннюю асимметрию.

Пример 3.

Имеются следующие данные о выработке рабочих и их квалификации (таблица 45).

Таблица 45

Данные по выработке и квалификации рабочих

Выработка, изделий в смену	Рабочие 3 разряда	Рабочие 4 разряда
101	5
102	4
103	3	1
104	1	2
105		4
106		3

Определить, влияет ли фактор квалификации рабочего на его выработку с помощью различных видов дисперсий.

Решение.

Для расчета воспользуемся правилом сложения дисперсий. Для этого построим две расчетные таблицы (таблица 46) для третьего разряда и (таблица 47) для четвертого разряда.

Таблица 46

Расчетная таблица для рабочих третьего разряда

Выработка, хi	Рабочие 3 разряда, fi	xi*fi
101	5	505	1	5
102	4	408	0	0
103	3	309	1	3
104	1	104	4	4
105
106
Итого	13	1326		12

Таблица 47

Расчетная таблица для рабочих четвертого разряда

Выработка, хi	Рабочие 3 разряда, fi	xi*fi
101
102
103	1	103	4	4
104	2	208	1	2
105	4	420	0	0
106	3	318	1	3
Итого	10	1049		9

1) Для расчета внутригрупповых дисперсий рассчитаем сначала внутригрупповые средние (по формуле средней взвешенной)

Внутригрупповые дисперсии:

2) Средняя из внутригрупповых дисперсий рассчитывается как средняя арифметическая взвешенная из внутригрупповых дисперсий, где весами выступает численность групп:

3. Для расчета межгрупповой дисперсии сначала определим общую среднюю как среднюю арифметическую взвешенную из групповых средних:

4. Определим межгрупповую дисперсию

Как видим, межгрупповая дисперсия, характеризующая различия в величине результативного признака (выработки) за счет факторного признака (квалификации), значительно превышает внутригрупповые дисперсии, которые отражают случайную вариацию под влиянием неучтенных факторов.

5) Общую дисперсию найдем по правилу сложения дисперсий

= + =0,91+2,2=3,11

6) Рассчитаем коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

Вывод: Таким образом, различия в величине выработке рабочих на 70,7% объясняются различиями в их квалификации, а на 29,3% - влиянием прочих факторов. Взаимосвязь между уровнем квалификации рабочих и их выработкой тесная.