5.4 Средняя гармоническая. Другие виды средних величин

Средняя гармоническая (взвешенная) применяется в тех случаях, когда известен числитель логической формулы средней и неизвестен знаменатель. Знаменатель можно найти как частное двух показателей.

(28)

где w_i = x_i*f_i. Если w_i одинаково у всех единиц совокупности, то для расчета средней применяется средняя гармоническая простая.

(29)

Средняя квадратическая применяется для определения средней по показателям, имеющим квадратные единицы измерения, а также для расчета показателей вариации. Расчетная формула имеет вид:

(30)

Средняя геометрическая применяется для определения средних темпов роста в рядах динамики.

(31)

Средние хронологические применяются для определения среднего уровня признака за период времени, если исходные данные представлены значениями этого признака на конкретные даты. При этом, если расстояния между датами равные применяется средняя хронологическая простая.

(32)

Если расстояния между датами различны, применяется средняя хронологическая взвешенная.

(33)

где – среднее значение признака между соседними датами,

t_i – расстояние между соседними датами.

5.5 Структурные средние

Структурные средние применяются для характеристики рядов распределения. К ним относятся мода и медиана.

Мода (М_о) – это наиболее часто встречающееся значение признака в совокупности, т.е. значение, имеющее наибольшую частоту.

Медиана (Ме) – это середина ряда распределения, т.е. значение признака, делящее рад распределения пополам по количеству единиц совокупности. Половина единиц совокупности имеют значения признака меньше медианы, вторая половина больше медианы.

Для нахождения моды по дискретному ряду распределения нужно выбрать значение, имеющее наибольшую частоту. Моды могут быть одна или две.

Для нахождения медианы по дискретному ряду распределения необходимо определить накопленные частоты и найти номер середины ряда. Далее выбирается то значение признака, где превышается половина единиц совокупности, т.е. значение из той группы единиц, в которой находится середина ряда распределения.

По интервальным рядам мода определяется по формуле.

(34)

где Xм_о – нижний конец модального интервала (с наибольшей частотой);

k – ширина интервала;

f_Мо, f_Мо-1, f_Мо+1 – частоты в модальном интервале, до него и после него.

Медиана определяется по формуле

(35)

где X_Ме – нижний конец медианного интервала (где превышена половина единиц совокупности по накопленным частотам);

k – ширина интервала;

f_Ме – частота в медианном интервале;

f_Ме-1^Накоп – накопленная частота до медианного интервала.

Моду и медиану можно также определить графически. Мода определяется по полигону (рис. 3) или гистограмме (рис.4) распределения. В первом случае мода соответствует наибольшей ординате. Во втором – правую вершину модального прямоугольника соединяют с правым углом предыдущего прямоугольника, а левую вершину – с левым углом последующего прямоугольника. Абсцисса точки пересечения – этих прямых будет модой распределения. Медиана определяется по кумуляте (рис. 5). Для ее определения высоту наибольшей ординаты, которая соответствует общей численности совокупности, делят пополам. Через полученную точку проводят прямую, параллельную оси абсцисс, до пересечения ее с кумулятой. Абсцисса точки пересечения является медианой.

Рис. 3-5 Графическое представление моды и медианы

Соотношение средней, моды и медианы между собой позволяет сделать вывод об асимметрии распределения признака в совокупности.

1. Распределение симметрично, если

2. Распределение имеет правостороннюю асимметрию, если

3. Распределение имеет левостороннюю асимметрию, если