Тепловые управляемые объекты

Тепловые объекты широко распространены в вагоностроении и вагонном хозяйстве (печи-подогреватели, сушилки, грузовые и пассажирские помещения вагонов и т. п.).

Для однопараметрового теплового объекта с сосредоточенной емкостью уравнение состояния имеет вид

где с — удельная теплоемкость вещества [кДж/(кг • град)]; m — масса вещества, кг; Т° — температура вещества, град;

— разность количеств тепла на входе и выходе объекта ( ), кВт.

Рассмотрим объект с электронагревом (грузовое помещение рефрижераторного вагона, пассажирское помещение, цехи и участки,

Схема теплового управляемого объекта

ванны и т. п.), показанный на рисунке. Количество подводимого к веществу тепла определяется нелинейной зависимостью от температуры Т° и управляющего воздействия х_у. Линеаризация этой зависимости позволит записать

Первая производная может быть определена на основе уравнения теплопередачи от нагревателя к веществу

где — коэффициент теплоотдачи от нагревателя к веществу (кВт/м²-град);

S_H — теплопередающая поверхность, м²;

—температура нагревателя (град), т. е.

Вторая производная определяется из статической характеристики управляющего органа объекта:

Количество отбираемого тепла, если пренебречь естественным рассеянием в окружающую среду, является неизвестной функцией времени, нагрузкой (через открывающиеся двери и т. п.) Используя это и в уравнении, после преобразований получим

где

Если производится охлаждение среды (воздуха) при помощи холодильной установки, то результирующее дифференциальное уравнение сохранит тот же вид . При этом вместо нагревателя рассматривается испаритель.

Структура систем автоматического управления динамические характеристики автоматической системы

Динамической характеристикой называется взаимозависимость выходного воздействия от входного в переходном режиме:

Для линейных систем оператор А определяется разнообразными формами явного или неявного описания динамических характеристик, таких как линейные дифференциальные уравнения, передаточные и частотные передаточные функции, переходные и импульсные переходные функции.

Передаточная функция. Понятие передаточной функции основано на преобразованиях Лапласа, преобразующих функцию f (t) вещественного переменного t в функцию F (s) комплексного переменного в комплексной области. Изображение F (s) и оригинал f(t) связаны прямым и обратным интегральными преобразованиями:

;

Переход к лапласовым изображениям облегчает исследование сложных систем за счет замены дифференциальных уравнений алгебраическими, упрощает учет начальных условий и получение постоянных интегрирования, а также учет возмущений. Переход от дифференциальных уравнений к алгебраическим осуществляется на основе преобразования производных функций:

;

;

;

Передаточной функцией называется отношение изображений по Лапласу выходного и входного воздействий с нулевыми начальными данными. Она является по типу уравнения коэффициентом в линейном соотношении

Если рассмотреть дифференциальное уравнение

затем перейти к изображениям по Лапласу согласно уравнению с учетом нулевых начальных условий

и разделить на собственный оператор системы, то получим с учетом дифференциальное уравнение системы в виде

где Wg, Wf— передаточные функции по задающему и возмущающему входам, представляющие собой дробно-рациональные функции:

**<»)=■

В реальных системах m< n и r< п. При s = 0 передаточная функция вырождается в коэффициент передачи по соответствующему входу (k_g, k_f).

Частотная передаточная функция. Понятие частотной передаточной функции строится на преобразованиях Фурье:

Вследствие физического смысла частоты, из которого вытекает ω > 0, преобразование Фурье может быть получено из преобразований Лапласа отбрасыванием в s действительной части α или заменой s на iω:

;

Частотной передаточной функцией называется отношение изображений по Фурье выходного и входного воздействий с нулевыми начальными условиями:

Частотную передаточную функцию удобно получать из передаточной заменой s на iω:

;

Используя это можем записать:

где A(ω) — амплитудная частотная функция:

φ(ω) — фазовая частотная функция:

;

Это определено тем, что при подаче на вход гармонического сигнала с амплитудой А _вх и частотой ω на выходе появится сигнал с новой амплитудой А _вых и сдвигом фазы φ той же частоты ω. Амплитудная и фазовая φ(ω) частотные функции являются характеристиками автоматической системы.

Для анализа автоматической системы строят следующие частотные характеристики:

годограф частотной передаточной функции (амплитудно-фазовая частотная характеристика), представляющий собой геометрическое место точек концов вектора W (iω) при изменении ω от 0 до ∞ (длина вектора — амплитудная характеристика, угол с положительным направлением действительной оси, отсчитываемый против часовой стрелки — фазовая характеристика).

Частотные характеристики

амплитудную частотную характеристику, представляющую собой зависимость амплитуды mod W (iω) от частоты ω при изменении частоты от 0 до ∞;

фазовую частотную характеристику , представляющую собой зависимость фазы arg W (iω) от частоты ω при изменении частоты от 0 до ∞.

Переходная и импульсная переходная функции. Переходная функция h (t) представляет собой функциональную зависимость от времени выходного воздействия при подаче на вход воздействия типа единичной ступенчатой функции с нулевыми начальными условиями:

Q(p)h(t) = R(p)l(t).

В том случае, если на вход подается ступенчатое возмущение х_вх = Вh (t), на выходе получим х_вых = Bh (t) для линейной системы. Используя преобразование Лапласа и введенное понятие передаточной функции W (s), по аналогии запишем

H(s) = W(s) .

Импульсной переходной функцией g(t) называется реакция системы на единичную импульсную функцию δ(t) при нулевых начальных условиях:

Q(p)g(t)=R(p)δ(t).

Так как входное воздействие в (5.16) получается из входного воздействия дифференцированием последнего, то и импульс­ную переходную функцию g (t) для линейной системы можно полу­чить из переходной h (t) дифференцированием:

Здесь по аналогии получим

G(s) = W(s),

Что даёт основание передаточную функцию определять как преобразование Лапласа реакции системы на единичную импульсную функцию с нулевыми начальными условиями.

Типовые динамические звенья

Безынерционное звено

Безынерционным (усилительным) называется звено, характеризуемое и в статике, и в динамике алгебраическим уравнением:

.

Передаточная функция звена

.

Частотная передаточная функция , амплитудная частотная характеристика , фазовая частотная характеристика , переходная функция звена (рис. 1.1, г).

Частотные характеристики и переходная функция безынерционного звена

Инерционное звено первого порядка

.

Передаточная функция и частотная передаточная функция

; .

Амплитудная и фазовая частотные характеристики

;

.

Переходная функция

.

Частотные характеристики и переходная функция инерционного

звена первого порядка

Инерционное звено второго порядка

при условии: T₂² – 4T₁² > 0.

Передаточная функция и частотная передаточная функция (рис. 1.3, а)

; .

Частотные характеристики и переходная функция инерционного звена

второго порядка

Амплитудная и фазовая частотные характеристики

;

.

Переходная функция, согласно корням характеристического уравнения

T₁²p² + T₂p + 1 = 0

,:

.

Колебательное звено

при условии: T₂² – 4T₁² < 0.

Частотные характеристики и переходная функция колебательного звена

Интегрирующее звено

.

Передаточная функция и частотная передаточная функция

; .

Амплитудная и фазовая частотные характеристики

; .

Переходная функция

h(t) = .

Частотные характеристики и переходная функция интегрирующего звена

Дифференцирующее звено

.

Характеристики звена:

; ;

; ; .

Частотные характеристики и переходная функция дифференцирующего звена

Исследование динамических характеристик типовых звеньев САР можно провести аналитически с учетом фактических значений параметров K и T_i или с использованием специальных программ (см. комплекс “Avtomat”).

Для исследования динамических характеристик элементов и объектов САУ необходимо получить численные значения параметров динамических звеньев – коэффициента передачи К (статический параметр) и постоянной времени Т (динамический параметр). Коэффициент передачи можно получить из графика статической характеристики элемента, найденной либо аналитически на основании использования физического закона, описывающего реальный процесс, протекающий в элементе, либо экспериментально. Постоянную времени можно определить расчетным путем или путем выбора приведенных в справочных таблицах значений (как правило, принимаются средние значения).

ВИДЫ СТРУКТУР АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ИХ ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ

В теории автоматического управления широко используются приёмы, позволяющие предварительно оценить работу автоматической системы, не прибегая к интегрированию дифференциальных уравнений. При этом ведущая роль отводится структурному представлению системы, которое включает и. графическое изображение структуры.

Структуру автоматической системы подразделяют на принципиальную (конструктивную), функциональную и алгоритмическую. Исследование динамики основано на рассмотрении алгоритмической структуры. Алгоритмической структурой называется совокупность динамических звеньев и связей между ними, результирующий алгоритм которых совпадает с алгоритмом функционирования. Графическое изображение алгоритмической структуры называется алгоритмической схемой. Используется алгоритмическая схема двух типов: структурная схема и граф прохождения сигналов.

На структурной схеме звенья представляются прямоугольниками, в которых показывается оператор преобразования входной величины в выходную, а воздействия — стрелками. Кроме того, используются обозначения: сумматоры, элементы сравнения и узлы (разветвления), принятые в функциональных схемах. На графе прохождения сигналов вершине, изображаемой кружком или точкой, соответствует переменная, а ребру, изображаемому линией со стрелкой, — оператор.

Передаточные функции сложных звеньев. При исследовании динамики автоматической системы возникает задача получения передаточных функций системы. Они могут быть получены на основании передаточных функций отдельных звеньев. Сложное звено в свою очередь может быть представлено совокупностью элементарных, различным образом включенных.

Сложное звено, состоящее из цепи последовательно включенных звеньев. Для нахождения правила формирования его передаточной функции в общем выражении передаточной функции

умножим числитель и знаменатель на X₁ Х₂, ..., Х_n-1:

W (s) = .

Следовательно, передаточная функция последовательного соединения звеньев определяется формулой

W(s) = .

Структурная схема (а) и граф прохождения сигналов (б)

Последовательное соединение звеньев

Параллельное соединение звеньев: а — попутное; б — встречное

Сложное звено, состоящее из параллельно попутно включенных звеньев. Согласно соединению имеем:

Используя это в общем выражении передаточной функции, получим

Следовательно, передаточная функция параллельного попутного включения звеньев определяется так:

Сложное звено, состоящее из параллельно встречно включенных звеньев. Согласно этому включению

X_вых= X_вых1= X_вх2; X_вх1= X_вх X_вых2

Используя в формуле:

получим формулу для определения передаточной функции рассмат­риваемого включения звеньев:

где верхний знак соответствует отрицательной обратной связи, а нижний — положительной.

Передаточные функции автоматических систем. При анализе автоматической системы вводят в рассмотрение определенные передаточные функции, относящиеся к самой системе. Эти передаточные функции можно обосновать на базе общей структуры автоматической системы.

Общий вид структурной схемы автоматической системы

Одной из основных характеристик является передаточная функция разомкнутой системы W (s). Она представляет собой отношение лапласовых изображений выходной величины Х_вых к ошибке X при нулевых начальных условиях. Поэтому согласно последовательному соединению автоматического управляющего устройства и объекта передаточная функция разомкнутой системы определяется как

.

Другой характеристикой является передаточная функция замкнутой системы по соответствующему входу. Согласно схеме имеем систему дифференциальных уравнений:

X_вых=W_оX_у-W_fX_f; X_у=W_уX; X=X_g-X_вых.

Первые два уравнения позволяют записать

X_вых=W_уX_оX-W_fX_f=W(s)X-W_f(s)X_f

Используя здесь последнее уравнение в (5.58) для решения относительно Х_вых, получим дифференциальное уравнение системы

(1 + W (s)) Х_вых(s) = W(s) X_g(s) - W_f (s) X_f (s).

Следовательно,

.

Определились две передаточные функции замкнутой системы

по задающему воздействию (W_зg) — главный оператор системы, и по возмущению (W_зf), определенные через передаточную функцию разомкнутой системы.

Третьей характеристикой является передаточная функция ошибки (рассогласования) также по соответствующему входу. Для ее получения уравнение с учетом последнего уравнения Х_вых = X_g - X разрешим относительно ошибки X:

(1+W(s))X(s)=X_g(s)+W_f(s)X_f(s).

Из этого уравнения согласно

определили две передаточные функции ошибки

пo задающему воздействию W_оg и возмущению W_оf.

Сравнение показывает, что W_зf = W_оf.

Следовательно, возмущение на выходную величину и ошибку влияет одинаково. В связи с этим зачастую рассматривают лишь передаточные функции W_зg(s) и W_og(s), устанавливающие связь между выходной величиной или ошибкой и задающим воздействием. Передаточная функция ошибки может быть выражена через передаточную функцию замкнутой системы. Так, из (5.61) передаточная функция

подставленная в W_og (s), даст возможность получить

W_og(s) = 1-W_зg(s).

Рассмотренные передаточные функции системы не являются единственными, но в большинстве случаев при анализе системы ограничиваются лишь ими.