Нелинейное программирование

8.1. Задачи на условный экстремум[1].

Методы решения задач на условный экстремум делятся на аналитические и приближенные. Первая группа методов, как правило, ориентированна на решение уравнений и систем вручную с помощью конечных формул, вторая - на решение их на ЭВМ.

К первой группе методов можно отнести метод прямой оптимизации и метод множителей Лагранжа.

Для решения практических задач обычно используются итеративные методы, ориентированные на реализацию их на ЭВМ. Эти методы делятся на два основных типа – методы перебора и методы возможных направлений. Обычно эти методы называют методами нелинейного программирования.

1. Метод прямой оптимизации

Метод применяется, когда описываются простыми, желательно линейными функциями, что позволяет выразить аналитически какие-либо m переменных из общего числа неизвестных, объединив их в новый вектор Y, через оставшиеся , которые называют свободными или независимыми . Найденные выражения подставим в , что позволит после преобразований получить новую по виду функцию , для которой необходимо найти минимум.

Решение полученной задачи безусловной оптимизации любым из рассмотренных методов позволит найти k неизвестных, а после подстановки их в аналитические выражения определить и остальные неизвестные.

Лаба!

Пример: Предприятие выпускает два вида продукции в объемах . Они реализуются по ценам соответственно. По плану предприятие должно выпустить ровно 150 единиц продукции. Определить план производства, обеспечивающий наибольший доход.

Решение.

Задача сводится к нахождению максимума функции с ограничениями, где

(*.1)

с ограничением

(*.2)

Для приведения задачи оптимизации к стандартному виду введем функцию .

(*.3)

Преобразуем целевую функцию

(*.4)

Решаемая задача имеет простой геометрический смысл (рис.э.1). Линии уровня целевой функции являются вложенными эллипсами, направление градиента показывает направление роста функции. Областью допустимых значений D является отрезок АС. Решение сводится к нахождению такого эллипса, который касается области D , т.е. отрезка АС. Координаты точки касания являются искомыми и .

Рис.э.1.

В качестве независимой примем . Тогда зависимой будет , и пользуясь (*.3) получаем .

Подставим полученное выражение для в целевую функцию.

(*.5)

В результате получили одномерную задачу безусловной оптимизации

(*.5)

Необходимое условие экстремума равенство нулю производной.

(*.5)

Для проверки достаточного условия оптимальности вычислим вторую производную

(*.5)

Следовательно, в точке достигается локальный максимум.

Отсюда следует, , а . Доход при этом будет равен 14700 ( ).

Метод множителей Лагранжа.

Задача на условный экстремум ставится как задача определения управляемых параметров

(8)

(9)

, на которых достигается экстремум (максимум или минимум) при ограничениях, заданных уравнениями.

Задачу на условный экстремум можно свести к задаче на безусловный экстремум для специальным образом построенной функции.

Каждому ограничению поставим в соответствие переменную .

Построим функцию Лагранжа:

Если ограничения выполняются , то функция Лагранжа при любых λ превращается в исходную функцию.

Точки локальных экстремумов задачи (8), (9) будут точками локальных экстремумов функции Лагранжа.

Теорема 6 (необходимое условие экстремума): если – точка локального экстремума и в окрестности этой точки функции непрерывно дифференцируемы, то в этой точке выполняются условия

(10)

Условия (10) означают, что градиент функции Лагранжа равен нулю

(10’)

Для формулировки достаточных условий оптимальности рассмотрим

окаймляющую матрицу Гессе:

Теорема 7 (достаточное условие экстремума):

• Стационарная точка функции Лагранжа является точкой локального минимума, если в окаймляющей матрице Гессе, вычисленной в стационарной точке, все угловые миноры, начиная с порядка имеют знаки, определяемые множителем .

• Стационарная точка функции Лагранжа является точкой локального максимума, если все угловые миноры окаймляющей матрицы Гессе, начиная с порядка образуют знакопеременный ряд, в котором знак первого члена определяется множителем .

Достаточное условие оптимальности можно сформулировать также в другой форме: если рассмотреть определитель, построенный из окаймляющей матрицы Гессе

(11)

,

то стационарная точка функции Лагранжа является точкой максимума, если все действительных корней многочлена (11) меньше ноля. Если же корни больше нуля, стационарная точка функции Лагранжа является точкой минимума.

Пример: Решим предыдущую задачу по определению плана производства, обеспечивающий наибольший доход методом Лагранжа.

Решение.

Задача сводится к нахождению максимума функции с ограничениями, где

(*.1)

с ограничением

(*.2)

Для приведения задачи оптимизации к стандартному виду введем функцию .

(*.3)

Преобразуем целевую функцию

(*.4)

Построим функцию Лагранжа

	(*.5)

Вычислим частные производные функции Лагранжа

	(*.6)

Приравняем частные производные функции Лагранжа к нулю, в результате получим систему для нахождения , и .

	(*.7)

Вычитая из второго уравнения первое, получим

	(*.8)

С учетом полученного результата систему можно преобразовать к следующему виду и решить её.

	(*.9)

Далее определяем

	(*.10)

Вычислим значение ЦФ в оптимальной точке

(*.11)

Для проверки достаточного условия оптимальности вычислим матрицу Гессе

	(*.12)

Пользуясь соотношениями (*.3) - (*.6)

	(*.13)

Угловые миноры матрицы, начиная с порядка 2m+1=3 должны иметь чередующиеся знаки, знак первого из них (положителен). Все эти условия выполняются:

Полученное решение – точка локального максимума.

На рис.э.2 приведена схема задачи, иллюстрирующая полученное решение. На ней нанесена точка С, координаты которой и соответствуют оптимальному решению. Эта точка является точкой касания линии уровня (эллипса), соответствующего уровню ( ), и лини АВ, определяемой ограничением . Заметим, что в точке касания градиенты целевой функции и ограничения коллинеарны (параллельны).

Рис.(э.2).