§11.2. Свободные затухающие колебания

Все реальные контуры содержат электрическое сопротивление R. Процесс свободных колебаний в таком контуре уже не подчиняется гармоническому закону. За каждый период колебаний часть электромагнитной энергии, запасенной в контуре, превращается в тепловую энергию, и колебания становятся затухающими.

Уравнение свободных колебаний в контуре при наличии затухания имеет вид

.

Физическая величина называется коэффициентом затухания. Решением этого дифференциального уравнения является функция

,

где частота затухающих колебаний. Видно, что амплитуда затухающих колебаний с течением времени убывает по экспоненциальному закону (см. рис.11.2.1).

Скорость затухания зависит от электрического сопротивления R контура. Интервал времени , в течении которого амплитуда уменьшается в раза, называется временем релаксации (временем затухания).

Добротностью Q колебательной системы является величина

,

где N – число полных колебаний, совершаемых системой за время затухания . Для RLC – контура добротность Q определяется соотношением (значения и T приведены выше):

.

Добротности Q любой колебательной системы, способной совершать свободные колебания, может быть дано энергетическое определение:

.

Другой характеристикой изменения амплитуды является логарифмический декремент затухания

.

Частота и период затухающих колебаний имеют смысл только в том случае, когда сопротивление R сравнительно невелико. Если , то происходит апериодический разряд конденсатора, и колебания не возникают. В этом случае вся энергия электрического поля конденсатора сразу превращается в тепловую энергию проводов колебательного контура.

Величина сопротивления, при котором колебательный процесс переходит в апериодический, называется критическим сопротивлением. Его величину можно определить из равенства:

т.е. , откуда .

§11.3. Вынужденные электрические колебания. Резонанс

Процессы, возникающие в электрических цепях под действием внешнего периодического источника тока, называются вынужденными колебаниями. Вынужденные колебания, в отличие от собственных колебаний в электрических цепях, являются незатухающими. Периодический внешний источник обеспечивает приток энергии к системе и не дает колебаниям затухать, несмотря на наличие неизбежных потерь.

Особый интерес представляет случай, когда внешний источник, напряжение которого изменяется по гармоническому закону с частотой , включен в электрическую цепь, способную совершать собственные свободные колебания на некоторой частоте . Если частота свободных колебаний определяется параметрами электрической цепи, то установившиеся вынужденные колебания всегда происходят на частоте внешнего источника.

Для установления стационарных вынужденных колебаний необходимо некоторое время после включения в цепь внешнего источника. Это время по порядку величины равно времени затухания свободных колебаний в цепи.

Рассмотрим колебательный контур, с включенным источником тока, напряжение которого изменяется по периодическому закону (рис. 11.3.1.). С учетом э.д.с. источника можно записать

.

Здесь ‑ напряжение на резисторе, ‑ напряжение на конденсаторе, ‑ э.д.с. самоиндукции, .

Подставляя эти значения, получим

.

Принимая во внимание, введенные ранее обозначения (см. §11.1 и §11.2) получим дифференциальное уравнение вынужденных электромагнитных колебаний:

.

Решением этого уравнения является функция

,

где

;

(ψ‑ сдвиг по фазе между зарядом и приложенным напряжением источника).

Сила тока в контуре при установившихся колебаниях будет

,

где ‑ амплитуда силы тока в контуре.

Напряжение на конденсаторе меняется по закону

,

здесь ‑ амплитуда колебаний напряжения на конденсаторе.

Амплитуды колебаний заряда, тока и напряжения зависят от параметров колебательного контура и частоты вынуждающих колебаний. При некоторых значениях этой частоты возникает явление называемое резонансом, т.е. резкое возрастание амплитуды колебаний. В колебательном контуре различают два типа резонансов: резонанс тока и резонанс напряжения.

Резонанс тока происходит при частоте ω = ω_рез, значение которой нетрудно определить, анализируя зависимость

.

Видно, что максимум амплитуды будет в том случае, когда выполняется соотношение

, т.е. когда .

Это означает, что резонанс тока наступает при частоте . Зависимость амплитуды тока от частоты вынуждающих колебаний показана на рис.11.3.1.

Амплитуда тока при резонансе

,

а амплитуды напряжений на конденсаторе и катушке при этом равны

.

В §11.2 было введено понятие добротности колебательного контура

,

и, следовательно, при резонансе тока, амплитуды напряжений на конденсаторе и катушке в Q раз превышают амплитуду ε₀ внешнего источника.

Р

Рис.11.3.1.

езонанс напряжения возникает при частоте, величину которой можно найти, решая задачу на экстремум функции

, т.е. из уравнения .

Откуда следует, что

(равенство справедливо при , т.е. когда ).

Зависимость амплитуды напряжения от частоты вынуждающих колебаний показана на рис.11.3.2.