§1.8. Работа в электрическом поле. Потенциал. Теорема о циркуляции вектора

Работа электростатического поля, создаваемого точечным зарядом , при движении заряда вдоль элементарного перемещения равна (см. рис.1.11):

,

где ‑ приращение радиус-вектора . Полная работа на участке 1-2 равна:

. (1.44)

Видно, что работа не зависит от траектории, а определяется только начальным ( ) и конечным ( ) положением заряда.

Следовательно, электростатическое поле является потенциальным, а электростатические силы ‑ консервативными. Поэтому работу можно выразить через изменение потенциальной энергии

. (1.45)

Таким образом, потенциальная энергия точечного заряда в поле заряда равна:

. (1.46)

Физическая величина, равная потенциальной энергии единичного положительного заряда, помещенного в какую-либо точку, называется потенциалом. Значит, потенциал в каждой точке поля будет

, (1.47)

и для точечного заряда определяется выражением:

. (1.48)

Единицей измерения потенциала является Вольт ‑ .

Работу электростатического поля можно выразить через разность потенциалов между начальной и конечной точками:

. (1.49)

Разность потенциалов численно равна работе по перемещению единичного положительного заряда из одной точки в другую

. (1.50)

Другая формулировка при определении потенциала связана с вычислением работы электростатического поля. Действительно, если заряд перемещается из произвольной точки за пределы поля, т.е. в бесконечность, где по условию потенциал равен нулю, то работа поля равна . Это означает, что

. (1.51)

Потенциал – физическая величина, определяемая работой по перемещению единичного положительного заряда при его удалении из данной точки в бесконечность (или в область, где потенциал принимается за нуль).

Следует иметь в виду, что , если поле создается положительным зарядом, и ‑ если отрицательным. В тех случаях, когда поле образовано несколькими зарядами, то потенциал такой системы, в соответствии с принципом суперпозиции, равен алгебраической сумме потенциалов полей каждого заряда в отдельности:

или . (1.52)

Поверхность, во всех точках которой потенциал имеет одинаковые значения, называется эквипотенциальной поверхностью. Эквипотенциальные поверхности точечного заряда представляют собой концентрические сферы, а в однородных полях – плоскости (рис.1.12).

Рис.1.12.Эквипотенциальные поверхности

Силовые линии и эквипотенциальные поверхности взаимно перпендикулярны в любой точке поля. В самом деле, работа при перемещении по эквипотенциальной поверхности , т.к. . С другой стороны тоже должна равняться нулю. Поскольку и , то , а значит .

Теорема о циркуляции вектора является следствием того, что работа электростатического поля вдоль любой замкнутой траектории равна нулю, т.к. . Циркуляцией вектора называют интеграл

, (1.53)

поэтому математическая форма теоремы принимает вид:

. (1.54)