Тема 2.3 Производная функции (повторение).
2.3.1.Основные понятия Определение производной
Пусть в некоторой окрестности точки
определена функция
Производной
функции f в
точке
называется предел, если он
существует,
Общепринятые обозначения производной функции
Правила дифференцирования
Операция нахождения производной называется дифференцированием. При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу.
Если C — постоянное число и
—
некоторые дифференцируемые функции,
то справедливы следующие правила
дифференцирования:
2.3.2. Производная сложной функции
Сложная функция (композиция функций) записывается в виде
где u = g(x) - внутренняя функция, являющаяся, в свою очередь, аргументом (если функций больше, то промежуточным аргументом) для внешней функции f. Если f и g - дифференцируемые функции, то сложная функция также дифференцируема по x и ее производная равна
Данная формула показывает, что производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную от внутренней функции. Важно, однако, что производная внутренней функции вычисляется в точке x, а производная внешней функции - в точке u = g(x)! Эта формула легко обобщается на случай, когда сложная функция состоит из нескольких "слоев", вложенных иерархически друг в друга.
2.3.3.Таблица производных функций независимой переменной.
Функция |
Производная |
Функция |
Производная |
Постоянная
|
|
Тригонометрические
|
|
Степенная
|
|
||
|
|
||
|
|
||
|
|
||
Логарифмическая
В частности
|
|
Обратные тригонометрические
|
|
|
|||
Показательная
В частности
|
|
||
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2.3.4. Таблица производных функций, аргументом которой является функция.
Функция |
Производная |
Функция |
Производная |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
||
|
|
2.3.5. Логарифмическое дифференцирование
Если требуется найти производную функции, представляющей собой произведение нескольких сомножителей, или дробь, числитель и знаменатель которой содержат по несколько сомножителей, то представляется выгодным предварительно обе части данной функции прологарифмировать по основанию е, а затем уже приступить к дифференцированию.
Логарифмической производной функции y = f (x) называется производная от логарифма этой функции
