2.2.4. Сравнение бесконечно малых функций.

Предположим, что α (x) и β (x) - бесконечно малые функции при хх₀.

Если

, то говорят, что функции α (x) и β (x) являются бесконечно малыми одного порядка, в частности, если

, то функции α (x) и β (x) называются эквивалентными бесконечно малыми.

В частности, следующие функции являются эквивалентными при хх₀:

sinx~x; tgx~x; arcsinx~x; arctgx~x; 1-cosxx2/2;

ex–1~x; ax-1xlna; ln(1+x)~x; loga(1+x) x/lna; (1+x)α–1~αx.

Знание основных эквивалентностей позволяет упростить вычисление пределов, так как справедлива следующая теорема:

Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой функцией.

2.2.5. Определение непрерывности функции в точке.

Пусть функция f (x) определена в некоторой окрестности точки х₀. Функция f (x) называется непрерывной в точке х₀, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т. е.

.

Теоремы о непрерывных функциях.

Теорема Вейерштрасса. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то она ограничена на этом отрезке и достигает своего наибольшего и наименьшего значения.

Теорема Коши. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и принимает на его концах значения разных знаков, то на отрезке [a;b] имеется хотя бы один нуль функции f. При этом, если функция строго монотонна на этом отрезке, то она принимает значение 0 лишь один раз.

Теорема о промежуточных значениях. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и f(a)≠f(b), то для каждого значения y, заключенного между f(a) и f(b), найдется точка (и возможно, не одна) такая, что f(x)=y.

2.2.6. Техника вычисления пределов.

1. Можно находить пределы функций, пользуясь правилами предельного перехода.

2. При вычислении пределов функций с использованием правил предельного перехода могут возникнуть некоторые нестандартные ситуации:

• Функция представляет собой дробь, предел знаменателя которой равен нулю.

Например, найдем где

Теорему о пределе частного применить нельзя, так как

Таким образом, знаменатель дроби 5х+15 есть величина бесконечно малая, а обратная ей величина - бесконечно большая, поэтому

Окончательно получим, применяя следствие 1 к теореме 2:

• Функция представляет собой дробь, пределы числителя и знаменателя которой равны нулю.

В этом случае имеет место так называемая неопределенность типа

Например, вычислить предел непосредственной подстановкой вместо аргумента его предельного значения нельзя, так как получается указанная неопределенность. Для того, чтобы избавиться от неопределенности, числитель и знаменатель раскладывают на множители.

_{Подставим в полученное выражение}

_{Получим}

Еще, например, вычислить предел:

Подставляя вместо х его предельное значение получаем неопределенность типа

Когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус какое-нибудь число), то для раскрытия неопределенности используют метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение.

Умножаем числитель и знаменатель на сопряженное к числителю выражение:

В числителе формула разности квадратов, применяя ее и свойство корней, получаем предел:

Однако, неопределенность еще сохраняется. Вынесем за скобки общий множитель в числителе и знаменателе и сократим одинаковые сомножители. Получим предел:

Теперь подставим в предел тройку и получим ответ:

• Функция представляет собой дробь, числитель и знаменатель которой – величины бесконечно большие.

В этом случае имеет место неопределенность типа

Метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенность необходимо разделить числитель и знаменатель на х в старшей степени.

Например, вычислить предел

Разделим числитель и знаменатель на х²

_{являются бесконечно малыми функциями при х , предел которых равен нулю.}

Неопределенности типа называются и основными.

Существуют и другие неопределенности, которые сводятся к основным путем тождественных преобразований:

• Пусть

Тогда

Или

• Пусть

Тогда

• Пусть

Для нахождения предела вида удобно сначала прологарифмировать выражение, стоящее под знаком предела.

3. Использование теоремы о бесконечно малых функциях также позволяет упростить вычисление пределов.

Например, вычислить предел

Функции, стоящие в числители и знаменателе дроби, являются бесконечно малыми при , поэтому имеет место неопределенность типа . Для устранения неопределенности, заменим функции числителя и знаменателя на эквивалентные:

sin x ~ x, 1-cosxx²/2

Получим предел

4. Использование первого замечательного предела (см. выше).

Например, вычислить предел

Функции, стоящие в числители и знаменателе дроби, являются бесконечно малыми при , поэтому имеет место неопределенность типа . Для устранения неопределенности, преобразуем выражение с помощью тригонометрических формул:

5. Использование второго замечательного предела (см. выше).

Например,

Задание 1 для практической работы №2

Вычислите пределы:

а)

б)

в)

г)

д)