Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Lektsia_5.docx
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.07.2025
Размер:
414.03 Кб
Скачать

Тема 2.2 Предел и непрерывность функций (повторение).

2.2.1. Основные понятия.

Понятие предела функции является одним из самых важных в математике. Дадим два определения этому понятию.

Определение предела по Коши. Число A называется пределом функции f(x) в точке x0, если эта функция определена в некоторой окрестности точки x0 за исключением, быть может, самой точки x0, и для каждого ε>0 существует δ>0 такое, что для всех x, удовлетворяющих условию |xx0|<δ, xx0, выполняется неравенство |f(x)–A|<ε.

Определение предела по Гейне. Число A называется пределом функции f(x) в точке x0, если эта функция определена в некоторой окрестности точки x0 за исключением, быть может, самой точки x0, и для любой последовательности такой, что сходящейся к числу x0, соответствующая последовательность значений функции сходится к числу A.

Если A – предел функции в точке x0, то пишут, что

Если функция f(x) имеет предел в точке х0, то этот предел единственный.

Число A1 называется пределом функции f(x) слева в точке х0, если для каждого ε>0 существует δ>0 такое, что для всех выполняется неравенство

Число A2 называется пределом функции f(x) справа в точке х0, если для каждого ε>0 существует δ>0 такое, что для всех выполняется неравенство

Предел слева обозначается предел справа –

Эти пределы характеризуют поведение функции слева и справа от точки х0. Их часто называют односторонними пределами

Предел функции на бесконечность.

Пусть функция f(x) определена на (-, + ∞).

Число A называется пределом функции f(x) при x → ∞ , если для любого положительного числа существует такое число М>0, что при всех х, удовлетворяющих условию , выполняется неравенство

2.2.2. Бесконечно большие и бесконечно малые функции.

Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x→х0 или при x→∞, если или , т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.

Функция y=f(x) называется бесконечно большой при x→х0 или при x→∞, если или , т.е. бесконечно большая функция – это функция, предел которой в данной точке равен бесконечности.

Теорема. Если f (x) — бесконечно большая функция, то есть бесконечно малая функция в этой же точке.

2.2.3. Основные теоремы о пределах.

Эти свойства выражают правила, по которым можно находить пределы функций. Они называются правилами предельного перехода.

Теорема 1 (о пределе алгебраической суммы). Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций, т.е.

Теорема 2 (о пределе произведения). Предел произведения двух, трех и вообще конечного числа функций равен произведению пределов этих функций, т.е.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

.

Следствие 2. Предел степени равен степени предела:

.

Теорема 3 (о пределе частного). Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя отличен от нуля, т.е.

Все теоремы справедливы и при

Замечательные пределы.

Первый замечательный предел:

Второй замечательный предел:

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]