1.5.2. Системы линейных неравенств.
Система линейных неравенств – это система, составленная из нескольких неравенств.
Решить систему линейных неравенств – это значит найти множество точек плоскости, которые удовлетворяют каждому неравенству системы.
В качестве простейших примеров рассмотрим системы неравенств, определяющих координатные четверти прямоугольной системы координат:
Система неравенств
задаёт первую координатную четверть
(правая верхняя). Координаты любой точки
первой четверти, например,
и
т.д. удовлетворяют каждому неравенству
данной системы.
Аналогично:
– система неравенств
задаёт вторую координатную четверть
(левая верхняя);
– система неравенств
задаёт третью координатную четверть
(левая нижняя);
– система неравенств
задаёт четвёртую координатную
четверть (правая нижняя).
Система линейных неравенств может не
иметь решений, то есть, быть несовместной.
Например:
. Совершенно очевидно, что «икс» не может
одновременно быть больше трёх и меньше
двух.
Решением системы неравенств может
являться прямая, например:
. Решением данной системы является
прямая 
Но самый распространённый случай, когда решением системы является некоторая область плоскости. Область решений может быть не ограниченной (например, координатные четверти) либо ограниченной. Ограниченная область решений называется многоугольником решений системы.
Примеры.
а) Решить систему линейных неравенств:
Решение:
1) Неравенства
определяют
первую координатную четверть, включая
границу из координатных осей. На чертеже
стрелочками отмечаем соответствующие
полуплоскости.
2) Неравенство
определяет полуплоскость, расположенную
слева от прямой
.
3) На последнем шаге решаем неравенства
Сначала строим прямые, потом с помощью
выбранной точки находим нужную
полуплоскость.
Область решений системы представляет
собой многоугольник
,
на чертеже он заштрихован. Любая точка
данного многоугольника удовлетворяет
КАЖДОМУ неравенству системы.
Помимо многоугольника решений системы, на практике, пусть и реже, встречается открытая область.
Часто в задачах требуется не только построить область решений системы, но и найти координаты вершин области.
б) Решить систему и найти координаты вершин полученной области:
Решение
И
Область решений представляет собой
многоугольник
.
Теперь нужно найти координаты вершин
полученной области. Очевидными являются
координаты только двух точек:
.
Нетрудно заметить, что вершины B и C являются точками пересечения прямых.
Найдём координаты вершины B. Для этого нужно решить систему уравнений, задающих прямые, пересечением которых и является точка B.
зобразим на чертеже область решений данной системы:
Найдём координаты точки С:
Ответ: Область решений системы
представляет собой многоугольник с
вершинами в точках
.
Тема 1.6 Простейшие задачи линейного программирования.
Большое число экономических задач сводится к линейным математическим моделям. Традиционно оптимизационные линейные математические модели называются моделями линейного программирования. Этот термин появился в конце 30-х годов, когда программирование на компьютере еще не было развито, и соответствует не очень удачному переводу английского "programmation". Под линейным программированием понимается линейное планиде, т. е. получение оптимального плана—решения в задачах с линейной структурой.