
- •Раздел 1. Линейная алгебра.
- •Тема 1.5 Системы линейных неравенств с двумя переменными.
- •1.5.1 Основные понятия. Неравенства с двумя переменными.
- •1.5.2. Системы линейных неравенств.
- •Тема 1.6 Простейшие задачи линейного программирования.
- •1.6.1 Постановка задачи линейного программирования (лп).
- •1.6.2 Графический метод решения задачи линейного программирования.
- •1.6.3 Транспортная задача.
Раздел 1. Линейная алгебра.
Группа |
Дата |
ОП-253 |
31.01.2014, 05.02.2014 |
ОП-254 |
29.01.2014, 31.01.2014 |
Тема 1.5 Системы линейных неравенств с двумя переменными.
1.5.1 Основные понятия. Неравенства с двумя переменными.
Принципиальное отличие неравенств с двумя переменными от неравенств с одной переменной состоит в размерности. Если при решении неравенств с одной переменной мы имеем числовую ось, т.е. существуют только «иксы», то сейчас добавляются «игреки» и поле деятельности расширяется до всей координатной плоскости.
Помимо аналитической геометрии, материал актуален для ряда задач математического анализа, экономико-математического моделирования.
Различают два типа линейных неравенств:
1) Строгие неравенства:
2) Нестрогие неравенства:
Геометрический смысл этих неравенств состоит в следующем:
если линейное уравнение
задаёт прямую, то линейное неравенство
определяет полуплоскость.
Как известно, ось абсцисс ОХ
задаётся уравнением
– «игрек» всегда (при любом значении
«икс») равняется нулю
Рассмотрим неравенство
.
«Игрек» всегда (при любом значении
«икс») положителен. Очевидно, что данное
неравенство определяет верхнюю
полуплоскость – ведь там и находятся
все точки с положительными «игреками».
В том случае, если неравенство нестрогое
,
к верхней полуплоскости дополнительно
добавляется сама ось OX.
Аналогично: неравенству
удовлетворяют все точки нижней
полуплоскости, нестрогому неравенству
соответствует нижняя полуплоскость
«плюс» ось OX.
С осью ординат OY то же самое:
– неравенство
задаёт правую полуплоскость;
– неравенство
задаёт правую полуплоскость, включая
ось ординат;
– неравенство
задаёт левую полуплоскость;
– неравенство
задаёт
левую полуплоскость, включая ось ординат.
Рассмотрим неравенства, в которых отсутствует одна из переменных.
Отсутствует «игрек»:
Отсутствует «икс»:
Решить линейное неравенство – это значит найти полуплоскость, точки которой удовлетворяют данному неравенству (плюс саму прямую, если неравенство нестрогое). Решение, как правило, графическое и состоит в следующем:
1. Построить прямую
для удобства построения целесообразно выразить из уравнения переменную:
2. Выбрать любую точку плоскости, не принадлежащую построенной прямой. (как правило, это начало координат – точка с координатами О(0;0));
3. Подставить координаты выбранной точки в исходное неравенство;
– Если какая-либо точка полуплоскости (не принадлежащая прямой) не удовлетворяет неравенству, то и ВСЕ точки данной полуплоскости не удовлетворяют данному неравенству.
– Если какая-либо точка полуплоскости (не принадлежащая прямой) удовлетворяет неравенству, то и ВСЕ точки данной полуплоскости удовлетворяют данному неравенству.
Примеры.
а) Решить неравенство
Решение.
Чертим прямую
выразив из уравнения переменную
.
Прямая изображается пунктирной линией,
так как неравенство «строгое» и точки
прямой не являются его решением
Теперь выбираем любую точку плоскости, не принадлежащую прямой. Выберем начало координат, точку (0;0). Она лежит в правой полуплоскости от начерченной прямой. Подставим координаты данной точки в неравенство:
Получено неверное неравенство.
Следовательно, неравенству удовлетворяют точки, лежащие в левой полуплоскости от прямой. Решение изображается стрелочками либо штрихуется.

б) Решить неравенство
Решение
Чертим прямую
выразив из уравнения переменную
.
Прямая изображается сплошной линией,
так как неравенство «нестрогое» и точки
прямой являются его решением.
Теперь выбираем любую точку плоскости, не принадлежащую прямой. Выберем начало координат, точку (0;0). Она лежит в нижней полуплоскости от начерченной прямой. Подставим координаты данной точки в неравенство:
Получено верное неравенство.
Следовательно, неравенству удовлетворяют все точки, лежащие в нижней полуплоскости от прямой. Решение изображается стрелочками либо штрихуется.
Переходим к рассмотрению третьего,
общего случая, когда в неравенстве
присутствуют обе переменные:
Решение графическое:
1. Построить прямую
для удобства построения целесообразно выразить из уравнения переменную y:
2. Выбрать любую точку плоскости, не принадлежащую построенной прямой. (как правило, это начало координат – точка с координатами О(0;0));
3. Подставить координаты выбранной точки в исходное неравенство;
– Если какая-либо точка полуплоскости (не принадлежащая прямой) не удовлетворяет неравенству, то и ВСЕ точки данной полуплоскости не удовлетворяют данному неравенству.
– Если какая-либо точка полуплоскости (не принадлежащая прямой) удовлетворяет неравенству, то и ВСЕ точки данной полуплоскости удовлетворяют данному неравенству.
Пример.
а) Найти полуплоскости, соответствующие
неравенству
Решение
Чертим прямую
выразив из уравнения переменную
.
Прямая изображается пунктирной линией,
так как неравенство «строгое» и точки
прямой не являются его решением.
Теперь выбираем любую точку плоскости, не принадлежащую прямой. Начало координат выбрать нельзя, т.к. оно принадлежит прямой. Выберем точку с небольшими координатами, например, М(1;0). Подставим координаты данной точки в неравенство:
Получено верное неравенство.
Следовательно, неравенству удовлетворяют точки полуплоскости, в которой находится точка М. Решение изображается стрелочками либо штрихуется.

М(1;0)
∙