18.Кері матрица? Кері матрицаның анықтамасы

Кез келген сан үшін мына теңдігін қанағаттандыратындай кері сан табылады. Квадрат матрица үшін де осындай ұғым енгіземіз. Анықтама.А квадрат матрица үшін мына теңдікті қанағаттандыратын матрица А матрицаның кері матрицасы деп аталады. Кері матрицаны мына формуламен табады:

, мұндағы -матрица анықтауышы, ал -берілген матрицаның элементтерінің алгебралық толықтауыштары, i=1,2,…,n; j=1,2,…,n.

Кез келген квадрат матрицаның кері матрицасы бола бермейді. Теорема(кері матрица болуының қажетті және жеткілікті шарты). Матрицаның кері матрицасы болуы үшін ол ерекше емес ( ) матрица болуы қажетті және жеткілікті.

Мысал. матрицасының кері матрицасын табу керек. Шешуі. Алдымен анықтауышын есептейік.

= = .

, яғни кері матрица бар. Енді элементтердің алгебралық толықтауыштарын есептейік.

, ,

, ,

, ,

, ,

.

Табылған мәндерді формулаға қойып кері матрицаны табамыз.

. Кері матрицаның дұрыс табылғандығын теңдігін тексеру арқылы көз жеткізуге болады:

.

Берілген матрицаға кері матрицаны элементар түрлендірулер әдісімен де табуға болады. Бұл әдіс матрицаға элементар түрлендірулер қолдануға сүйенеді. Матрицаның элементар түрлендірулері деп мынадай түрлендірулерді айтамыз:

1. Матрицаны транспонерлеу;

2. Жолдардың орнын алмастыру;

3. Қандай да бір жолдың барлық элементтерін нолден өзге санға көбейту;

4. Қандай да бір жолдың барлық элементтерін нолден өзге санға көбейтіп басқа жолдың сәйкес элементтеріне қосу;

5. Барлық элементі ноль болатын жолды алып тастау.

Енді кері матрица табу ережесіне көшейік: Берілген матрицаның оң жағына бірлік матрица жалғап жазу керек. Сонда өлшемді кеңейтілген матрица пайда болады. В матрицаға А матрицасының орнында бірлік матрица пайда болғанға дейін жатық жолдарына элементар түрлендірулер жасалады. Нәтижесінде бірлік матрицаның орнында кері матрица пайда болады.

Мысалы, жоғарыдағы қарастырылған матрицаның кері матрицасын осы әдіспен тауып көрейік. Берілген матрицаның оң жағына бірлік матрица жазып, элементар түрлендірулер жүргіземіз.

.

Соңында бірлік матрицаның орнында пайда болған матрица кері матрица болады: . Ерекше емес матрицалар үшін мынадай қасиеттер дұрыс болады:

1) , 2) ,

3) , 4) .

Соңғы , ..., теңдеулеріндегі , ..., сандарының ең болмағанда біреуі нөлден өзгеше болса, онда берілген теңдеулер жүйесі үйлесімсіз, ал бәрі нолге тең болса жүйе үйлесімді болады.

Жүйенің рангісі жүйедегі белгісіздер санынан кем болса, онда жүйе анықталмаған болатыны жоғарыда айтылған. Айталық (6) жүйе үйлесімді және r<n болсын. Егер коэффициенттерінен құрылған анықтауыш нолден өзгеше болса, онда айнымалыларды базистік (негізгі) айнымалылар деп, ал басқа n-r айнымалыларды еркін (негізгі емес) айнымалылар деп атайды. Еркін айнымалылары нолге тең болған кездегі шешім базистік шешім деп аталады. Базистік шешімдер саны -ден артпайды.

1-мысал. Шешуі. Жүйенің кеңейтілген матрицасын жазып, элементар түрлендірулер жасайық:

.

Соңғы матрицаға сәйкес келетін жүйе жазайық:

Сонымен жүйенің шешімі табылды:

19. Жүйенің шешімі дегеніміз не?

Негізгі ұғымдар мен анықтамалар. n белгісізді m теңдеуден тұратын жүйе деп мынадай жүйені айтады:

(1)

мұндағы (i=1,2,…,m, j=1,2,…,n) - теңдеу коэффициенттері деп, ал (i=1,2,…,m) - бос мүшелері деп аталады. (1) теңдеудің қысқаша жазылуы мынадай: (i=1,2,…,m)

жүйенің бос мүшелерінің бәрі нолге тең болса, (i=1,2,…,m) жүйе біртекті жүйе деп аталады. Жүйенің әрбір теңдеуін тепе-теңдікке айналдыратын

сандар тізбегі теңдеулер жүйесінің шешімі деп аталады. Осы шартты қанағаттандыратын барлық шешімдер шешімдер жиынын құрады. Жүйенің шешімдер жиынын табу процесін жүйені шешу дейді.

(1) жүйенің ең болмағанда бір шешімі болса жүйе үйлесімді, ал шешімі болмаса үйлесімсіз деп аталады. Үйлесімді жүйенің бір ғана шешімі болса, жүйе анықталған, ал шешімі бірден көп болса анықталмаған деп аталады. Енді (1) жүйеге мынадай белгілеулер енгізейік:

, ,

А - жүйе коэффициенттерінен құрылған матрица немесе жүйе матрицасы, Х - жүйенің бос мүшелерінен құрылған бағана матрица, В - жүйенің бос мүшелерінен құрылған бағана матрица. Осы белгілеулерді қолданып (1) жүйені былайша жазуға болады: АХ=В (3). (3) теңдеу (1) жүйенің матрицалық жазылуы болып табылады. Егер жүйе матрицасына бос мүшелер матрицасын жалғап жазсақ,

, жүйенің кеңейтілген матрицасын аламыз.

Кронеккер-Капелли теоремасы. Егер сызықты теңдеулер жүйесінің негізгі матрицасы мен кеңейтілген матрицасының ранглері тең болса, онда жүйе үйлесімді болады.

Теорема бойынша жүйе үйлесімді болуы үшін болуы керек. Бұл кезде rжүйе рангісі деп аталады.

Үйлесімді жүйенің рангісі жүйедегі белгісіздер санына тең болса (r=n), онда жүйе анықталған болады, ал егер жүйенің рангісі жүйедегі белгісіздер санынан кем болса (r<n), онда жүйе анықталмаған болады. Мысалы, мынадай жүйе қарастырайық:

Жүйенің кеңейтілген матрицасын жазып, элементар түрлендірулер жасайық:

Жүйе матрицасы мен кеңейтілген матрицаның екінші ретті нолге тең емес минорлары бар екенін көру қиын емес және . Кронеккер-Капелли теоремасы бойынша жүйе үйлесімді. Жүйе рангісі r=2, ал белгісіздер саны n=4, r<n болғандықтан жүйе анықталмаған, яғни шексіз көп шешімі бар.

20. Қандай жүйе үйлесімді деп аталады?Негізгі ұғымдар мен анықтамалар. n белгісізді m теңдеуден тұратын жүйе деп мынадай жүйені айтады: (1)мұндағы (i=1,2,…,m, j=1,2,…,n) - теңдеу коэффициенттері деп, ал (i=1,2,…,m) - бос мүшелері деп аталады. (1) теңдеудің қысқаша жазылуы мынадай: (i=1,2,…,m)

жүйенің бос мүшелерінің бәрі нолге тең болса, (i=1,2,…,m) жүйе біртекті жүйе деп аталады. Жүйенің әрбір теңдеуін тепе-теңдікке айналдыратын

сандар тізбегі теңдеулер жүйесінің шешімі деп аталады. Осы шартты қанағаттандыратын барлық шешімдер шешімдер жиынын құрады. Жүйенің шешімдер жиынын табу процесін жүйені шешу дейді.

(1) жүйенің ең болмағанда бір шешімі болса жүйе үйлесімді, ал шешімі болмаса үйлесімсіз деп аталады. Үйлесімді жүйенің бір ғана шешімі болса, жүйе анықталған, ал шешімі бірден көп болса анықталмаған деп аталады. Енді (1) жүйеге мынадай белгілеулер енгізейік:

, ,

А - жүйе коэффициенттерінен құрылған матрица немесе жүйе матрицасы, Х - жүйенің бос мүшелерінен құрылған бағана матрица, В - жүйенің бос мүшелерінен құрылған бағана матрица. Осы белгілеулерді қолданып (1) жүйені былайша жазуға болады: АХ=В (3). (3) теңдеу (1) жүйенің матрицалық жазылуы болып табылады. Егер жүйе матрицасына бос мүшелер матрицасын жалғап жазсақ,

, жүйенің кеңейтілген матрицасын аламыз.

Кронеккер-Капелли теоремасы. Егер сызықты теңдеулер жүйесінің негізгі матрицасы мен кеңейтілген матрицасының ранглері тең болса, онда жүйе үйлесімді болады.

Теорема бойынша жүйе үйлесімді болуы үшін болуы керек. Бұл кезде rжүйе рангісі деп аталады.

Үйлесімді жүйенің рангісі жүйедегі белгісіздер санына тең болса (r=n), онда жүйе анықталған болады, ал егер жүйенің рангісі жүйедегі белгісіздер санынан кем болса (r<n), онда жүйе анықталмаған болады. Мысалы, мынадай жүйе қарастырайық:

Жүйенің кеңейтілген матрицасын жазып, элементар түрлендірулер жасайық:

Жүйе матрицасы мен кеңейтілген матрицаның екінші ретті нолге тең емес минорлары бар екенін көру қиын емес және . Кронеккер-Капелли теоремасы бойынша жүйе үйлесімді. Жүйе рангісі r=2, ал белгісіздер саны n=4, r<n болғандықтан жүйе анықталмаған, яғни шексіз көп шешімі бар.

21. Қандай жүйе үйлесімсіз деп аталады?Негізгі ұғымдар мен анықтамалар. n белгісізді m теңдеуден тұратын жүйе деп мынадай жүйені айтады: (1)мұндағы (i=1,2,…,m, j=1,2,…,n) - теңдеу коэффициенттері деп, ал (i=1,2,…,m) - бос мүшелері деп аталады. (1) теңдеудің қысқаша жазылуы мынадай: (i=1,2,…,m)

жүйенің бос мүшелерінің бәрі нолге тең болса, (i=1,2,…,m) жүйе біртекті жүйе деп аталады. Жүйенің әрбір теңдеуін тепе-теңдікке айналдыратын

сандар тізбегі теңдеулер жүйесінің шешімі деп аталады. Осы шартты қанағаттандыратын барлық шешімдер шешімдер жиынын құрады. Жүйенің шешімдер жиынын табу процесін жүйені шешу дейді.

(1) жүйенің ең болмағанда бір шешімі болса жүйе үйлесімді, ал шешімі болмаса үйлесімсіз деп аталады. Үйлесімді жүйенің бір ғана шешімі болса, жүйе анықталған, ал шешімі бірден көп болса анықталмаған деп аталады. Енді (1) жүйеге мынадай белгілеулер енгізейік:

, ,

А - жүйе коэффициенттерінен құрылған матрица немесе жүйе матрицасы, Х - жүйенің бос мүшелерінен құрылған бағана матрица, В - жүйенің бос мүшелерінен құрылған бағана матрица. Осы белгілеулерді қолданып (1) жүйені былайша жазуға болады: АХ=В (3). (3) теңдеу (1) жүйенің матрицалық жазылуы болып табылады. Егер жүйе матрицасына бос мүшелер матрицасын жалғап жазсақ,

, жүйенің кеңейтілген матрицасын аламыз.

Кронеккер-Капелли теоремасы. Егер сызықты теңдеулер жүйесінің негізгі матрицасы мен кеңейтілген матрицасының ранглері тең болса, онда жүйе үйлесімді болады.

Теорема бойынша жүйе үйлесімді болуы үшін болуы керек. Бұл кезде rжүйе рангісі деп аталады.

Үйлесімді жүйенің рангісі жүйедегі белгісіздер санына тең болса (r=n), онда жүйе анықталған болады, ал егер жүйенің рангісі жүйедегі белгісіздер санынан кем болса (r<n), онда жүйе анықталмаған болады. Мысалы, мынадай жүйе қарастырайық:

Жүйенің кеңейтілген матрицасын жазып, элементар түрлендірулер жасайық:

Жүйе матрицасы мен кеңейтілген матрицаның екінші ретті нолге тең емес минорлары бар екенін көру қиын емес және . Кронеккер-Капелли теоремасы бойынша жүйе үйлесімді. Жүйе рангісі r=2, ал белгісіздер саны n=4, r<n болғандықтан жүйе анықталмаған, яғни шексіз көп шешімі бар.

22.Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері:Крамер әдісі: Бұл әдіс жүйедегі теңдеулер саны мен белгісіздер саны тең болғанда, яғни m=n, қолдануға болады. Демек, жүйе түрі мынадай болады:

(4)

Жүйедегі теңдеулер саны мен белгісіздер саны тең, онда жүйе матрицасы квадрат матрица болады. Сол квадрат матрицаның анықтауышын деп белгілейік:

Крамер ережесі. -жүйе анықтауышы, ал - анықтауыштың j-тік жолын бос мүшелермен алмастырғаннан пайда болған анықтауыш болсын. Сонда, егер болса жүйенің жалғыз шешімі бар болады және мынадай формуламен табылады:

(i=1,2,…,n) формуланы Крамер формуласы деп атайды.

Осы ережені қолданып мынадай жүйені шешейік

Шешуі. Алдымен анықтауышты есептейміз,

.т (j=1,2,3) анықтауыштарды есептейік

, ,

Енді Крамер формуласын қолданып белгісіздерді табамыз:

, , .

Сонымен, берілген жүйенің жалғыз (-1; 2; 3) шешімі табылды, жүйе анықталған екен.

Матрицалық әдіс: Бұл әдіс те жүйедегі теңдеулер саны мен белгісіздер саны тең болғанда, яғни m=n, қолдануға болады. Жүйенің матрицалық жазылуын

қарастырайық:АХ

=В, мұндағы, , .

Айталық А ерекше емес матрица болсын, яғни матрица анықтауышы нолге тең емес, олай болса әр уақытта кері матрицасы бар болады. Теңдеуді сол жағынан кері матрицаға көбейтейік, АХ= В А=E болатындықтан, ЕХ= В,кез келген матрицаның бірлік матрицаға көбейтіндісі сол матрицаның өзіне тең болатындықтан, ЕХ=Х:Х= В. Сонымен, кері матрицалық әдіс бойынша жүйенің шешімін табу үшін бос мүшелерден құралған матрицаны жүйе матрицасының кері матрицасына көбейту керек екен.Жоғарыда карастырылған жүйені осы әдіс бойынша шешіп көрейік.

Шешуі. болғандықтан, жүйе матрицасы ерекше емес. Осы матрицаның кері матрицасын табамыз:

.

Енді Х= В теңдікті қолданып белгісіздерді табамыз:

.

Сонымен, , , шешімдері табылды.

Гаус әдісімен шешу:n белгісізді m теңдеуден тұратын жүйе қарастырайық,

.

Гаусс әдісі - жүйедегі айнымалыларды түрлендірулер көмегімен біртіндеп жойып, жүйені сатылы түрге келтіріп, айнымалыларды біртіндеп табатын әдіс. Гаусс түрлендірулері мынадай:

1. Кез келген екі теңдеудің орындарын ауыстырып жазу;

2. Кез келген теңдеудің екі жағын нолден өзге санға көбейту;

3. Қандай да бір теңдеуді нолден өзге санға көбейтіп, басқа теңдеуге сәйкесінше қосу;

4. 0=0 түріндегі теңдеуді сызып тастау.

Гаусс түрлендірулерін жүйенің өзіне қолданғаннан гөрі оның кеңейтілген матрицасына қолданған ұтымды болады. Олай болса жүйенің кеңейтілген матрицасын қарастырайық,

. Осы матрицаны түрлендірулер нәтижесінде мынадай түргекелтіреміз:

Матрицаның элементтері арқылы белгіленіп тұрғанымен, шын мәнінде олар түрлендірулер нәтижесінде өзгерген. Бұл белгілеулер жазуды ықшамдау үшін ғана пайдаланылып отыр.

Соңғы матрицаға сәйкес келетін теңдеулер жүйесі мынадай:

(6)

Соңғы , ..., теңдеулеріндегі , ..., сандарының ең болмағанда біреуі нөлден өзгеше болса, онда берілген теңдеулер жүйесі үйлесімсіз, ал бәрі нолге тең болса жүйе үйлесімді болады.

Жүйенің рангісі жүйедегі белгісіздер санынан кем болса, онда жүйе анықталмаған болатыны жоғарыда айтылған. Айталық (6) жүйе үйлесімді және r<n болсын. Егер коэффициенттерінен құрылған анықтауыш нолден өзгеше болса, онда айнымалыларды базистік (негізгі) айнымалылар деп, ал басқа n-r айнымалыларды еркін (негізгі емес) айнымалылар деп атайды. Еркін айнымалылары нолге тең болған кездегі шешім базистік шешім деп аталады. Базистік шешімдер саны -ден артпайды.

1-мысал. Шешуі. Жүйенің кеңейтілген матрицасын жазып, элементар түрлендірулер жасайық:

.

Соңғы матрицаға сәйкес келетін жүйе жазайық:

_{Сонымен жүйенің шешімі табылды:}

23. Вектордың анықтамасы.Басы А, соңы В нүктесі болатын бағытталған кесінді вектор деп аталады. Оқулықтарда векторларды немесе , кейде тек қалың әріптермен АВ белгілеу түрлері кездеседі. Сол сияқты векторларды бір әріппен де белгілей береді ( = , , а). векторының ұзындығы деп АВ кесіндісінің ұзындығын айтады және деп белгілейді. Басы мен соңы беттесетін вектор нолдік вектор деп аталады, = және ұзындығы нолге тең.Бір түзудің не өзара параллель түзулер бойында орналасқан векторлар коллениар векторлар деп аталады. және векторларының қосындысы «үшбұрыш» не «параллелограмм» ережесімен анықталады:

және векторларының - айырымы деп -ға қосқанда

векторы алынатын = - векторын айтады.

векторының санға көбейтіндісі деп ұзындығы болатын, бағыты >0 болғанда векторымен бағыттас, <0 болғанда векторымен қарама-қарсы бағытта болатын векторын айтады. Суретте, = 2, =2 ; = -1, =- .