14. Элементінің алгебралық толықтауышы дегеніміз не? элементінің алгебралық толықтауышы деп мынадай санды айтады:

3-ші ретті мат-ның элементінің алгебралық толықтауышы мына сан:

Мысалы, матрицасының бірінші жатық жолдағы элементтерінің миноры мен алгебралық толықтауыштарын есептейік:

, , ,

, ,

, , .

15.Анықтауыштың қасиеттері?1-қасиет. Анықтауыштың жатық жолдарын сәкес тік жолдарымен алмастырғаннан, яғни транспонерлегеннен, анықтауыш мәні өзгермейді:

.

Теңдіктің дұрыстығын анықтауыштарды есептеу арқылы тексеруге болады.

2-қасиет.Анықтауыштың қандай да бір жолының ортақ көбейткішін анықтауыш алдына шығаруға болады. Үшінші ретті анықтауыштың екінші жолындағы ортақ көбейткішті анықтауыш алдына шығарамыз:

.

Теңдіктің дұрыстығына берілген матрицаны екінші жол бойынша жіктеп тексеруге болады.

3-қасиет.Анықтауыштың екі жолының орнын ауыстырғаннан анықтауыш таңбасы қарама-қарсы таңбаға өзгереді.Үшінші ретті анықтауыштың бірінші және екінші жолдарын алмастырайық:

Теңдіктің дұрыстығын екінші анықтауышты бірінші жол бойынша жіктеп тексеруге болады.

4-қасиет. Егер анықтауыштың екі жолы бірдей болса, онда анықтауыш мәні нолге тең. Үшінші ретті анықтауыштың бірінші және екінші жолдары бірдей болсын:

=0.

Теңдіктің дұрыстығын осы екі жолдың орндарын алмастырып 3-қасиетті қолданып тек.болады.

5-қасиет.Анықтауыштың бір жолын қандай да бір санға көбейтіп басқа жолға қосқаннан анықтауыш мәні өзгермейді. Үшінші ретті анықтауыштың бірінші жолын -ға көбейтіп екінші жолға қосайық:

.

Теңдіктің дүрыстығын екінші анықтауышты мынадай

+

анықтауыштардың қосындысы түрінде жазайық. Сонда бірінші қосылғыш берілген анықтауыш болады да, екінші анықтауыш нолге тең.

6-қасиет.Үшбұрышты матрицаның анықтауышы диагональ бойындағы элементтердің көбейтіндісіне тең:

.

Теңдіктің дұрыстығын анықтауышты бірінші тік немесе үшінші жатық жол бойынша жіктеп тексеруге болады.

Осы қасиеттер көмегімен жоғары ретті анықтауыштар есептеуді көп жеңілдетуге болады. Анықтауышты қандай да бір жолында неғұрлым көп ноль болатындай етіп түрлендіріп, сол жол бойынша жіктеп анықтауыш реті төмендетіледі. Мысалы мынадай төртінші ретті

анықтауышты есептейік.

Анықтауышты үшбұрышты түрге келтіреміз. Алдымен 5-қасиет бойынша анықтауыштың бірінші жолын 1-ге көбейтіп үшінші жолға, (-1)-ге көбейтіп төртінші жолға қосайық (есепте көрсетілген). Сонда анықтауыштың бірінші тік жолында элементтен басқасы нолге айналады.

Енді осы қасиетті пайдаланып элементінің астында тұрған сандарды нолге айналдырамыз. Соңында элементінің астында тұрған сандарды нолге айналдырамыз. Анықтауыш үшбұрышты түрге келді. 6-қасиет бойынша анықтауыш мәнін диагональдік элементтерді көбейтіп табамыз.

= =

= = .

16. Матрицаның рангі? Матрица рангі mxn өлшемді А матрицаның бірнеше жатық және тік жолдарын сызып тастап k өлшеміді, k min(m,n), квадрат матрица алуға болады. Осы квадрат матрица анықтауышы берілген матрицаның k өлшемді миноры деп аталады. матрицаның k-өлшемді минорлар саны болады.

Анықтама. Матрицаның нолге тең емес минорларының ең үлкен реті матрица рангісі деп аталады: r=r(A)= rangA .

1. матрицасының рангісі оның өлшемдерінің кішісінен артпайды: r(A) min(m,n).

2. Барлық элементтері ноль болғанда ғана (нолдік матрица) матрица рангісі ноль болады.

3. n–ретті квадрат матрица ерекше емес болғанда матрица рангісі n–ге тең болады.

Мысал. матрицаның рангісін есептейік.

Шешуі. Матрица өлшемі 3х4 болғандықтан, оның рангісі 3-тен артпайды, r(A) min(3,4). Егер үшінші ретті минорлардың ең болмағанда біреуі нолден өзгеше болса, онда матрица рангісі 3-ке тең болады. Үшінші ретті минорлар матрицаның бір тік жолын сызып тастағанда пайда болады:

, , , .

Үшінші ретті минорлардың бәрі нолге тең болғандықтан, ранг 3-ке тең бола алмайды. Енді екінші ретті минорлардың ішінен (олардың саны ) ең болмағанда бір нолге тең емес минор тапсақ, матрица рангісі 2-ге тең болады. Екінші ретті минорлар матрицаның бір жатық, екі тік жолын сызып тастағанда пайда болады. Айталық бірінші жатық жол мен бірінші және екінші тік жолдарды сызып тастағанда пайда болатын мына минор: , сондықтан r(A)=2.

Матрица өлшемі артқан сайын оның рангісін барлық нолден өзге минорларды есептеу жолымен анықтау қиындайды. Матрица рангісін элементар түрлендірулер әдісімен табу ондай қиындықтардан құтқарады.

Теорема.Элементар түрлендірулер матрица рангісін өзгертпейді.

Дәлелдеуі. Матрицаға элементар түрлендірулер жүргізгенде оның анықтауышы не өзгермей сақталады, не нолге тең емес санға көбейтіледі. Яғни, оның реті өзгермейді деген сөз. Олай болса, нолден өзгеше минорлардың немесе матрица рангісінің реті де өзгермейді.

Осы теореманы ескеріп, элементар түрлендірулер жасап, берілген матрицаны барлық диагоналдік элементтері нолден өзгеше болатындай етіп сатылы түрге келтіреміз:

,

мұндағы r п. Осы шарттың орындалуын матрицаны транстонерлеу арқылы қамтамасыз етуге болады. Сонда матрицаның r–ретті нолден өзге миноры

бар болады да, матрица рангісі r-ге тең болады, яғни r(A)=r.

Матрицанің рангісін есептеу

матрицасының рангісін есептейік.

Шешуі. Элементар түрлендірулер көмегімен матрицаны сатылы түрге келтіреміз.

.Соңғы матрица сатылы түрге келді және онда нолге тең емес үшінші ретті минор бар екенін бірден көруге болады:

. Сонымен матрица рангісі 3-ке тең, r(A)=3.

17. Матрицаны түрлендіру? Матрицаны құрайтын сандар матрица элементтері деп аталады. Әдетте матрица латын алфавитінің бас әріптерімен, ал элементтері сәйкес кіші әріптермен белгіленеді:

Қысқаша жазылуы:

Матрица элементінің бірінші индексі жатық жол нөмірі, ал екінші индексі тік жол (бағана) нөмірін көрсетеді. Мысалы, элементі екінші жатық жол мен үшінші тік жол қиылысында орналасқан.

Бір ғана жатық жолдан құралған матрицаны жол-матрица, ал бір ғана тік жолдан құралған матрицаны бағана-матрица депатайды: - жол-матрица;

- бағана матрица.

Жол матрица мен бағана матрицаны кейде вектор деп те айтады.. Жатық жолдар саны мен тік жолдар саны тең болатын матрица квадрат матрица деп аталады,

.

Квадрат матрицаның элементтері диагоналдық элементтер деп аталады да, матрицаның негізгі диагоналін құрайды. Ал элементтері қосымша диагоналдық элементтер деп аталады да, матрицаның қосымша диагоналін құрайды. Квадрат матрицаның негізгі диагоналінің астындағы немесе үстіндегі элементтері нолге тең болса, матрица үшбұрышты матрица деп аталады,

,

Диагоналды емес элементтерінің бәрі нолге тең болатын квадрат матрица диагоналды матрица деп аталады,

.

Барлық диагоналды элементтері бірге тең болатын диагоналды матрица бірлік матрица деп аталады және оны Е әрпімен белгілейді,

. Барлық элементтері нолге тең матрица нолдік матрицадеп аталады.