61. Функцияның нүктедегі шегі.Анықтама.

Егер алдын ала берілген, мейілінше аз санына саны табылып, шартын қанағаттандыратын барлық х үшін теңсіздігі орындалса, онда А саны f(x) функциясының х аргумент х₀-ге ұмтылғандағы шегі деп аталады да, былай жазылады: .Анықтамадағы теңсіздікті ашсақ, мынадай қос теңсіздік аламыз: . интервалды нүктесінің -маңайы дейді. Сол сияқты теңсіздікті ашсақ: . интервалды А нүктесінің -маңайы дейді.Енді анықтаманы сурет бойынша айтсақ: Алдын ала берілген, санына саны табылып, аргумент мәндері нүктесінің -маңайына тиісті болғанда функцияның сәйкес мәндері А нүктесінің -маңайында жатса, А саны f(x) функциясының х аргумент х₀-ге ұмтылғандағы шегі деп аталады. Мысал. Өндіріс орны шығаратын заттың бір данасының бағасы y пен оған деген сұраныс x (мың дана) арасындағы байланыс мынадай қатынаспен анықталған: .

у 210 200 190 0 11,4 12 12,6 х

Шешуі. (190; 210) интервалының ортасы А=200 теңге, олай болса =10. Шек анықтамасындағы теңсіздігін қолданайық: . Осы теңсіздікті түрлендіріп ықшамдасақ мынадай теңсіздік аламыз: .

Соңғы теңсіздікті мынадай түрге келтіріп жазсақ, есеп сұрағына жауап беруге болады: Заттың бір данасының бағасының 200 теңгеден ауытқуы 10 теңгеден артпауы үшін, өндіріс орны өнім көлемінің өзгеруін 0,6 мың данадан асырмауы керек екен.

Функция шегінің қасиеттері.

Айталық және функцияларының жағдайда және шектері бар болсын.

1. Екі функцияның алгебралық қосындысының шегі шектердің алгебралық қосындысына тең болады, яғни

2. = .

3. Екі функцияның көбейтіндісінің шегі шектердің көбейтіндісіне тең болады, яғни

= .

Салдар. =С , мұндағы С - const.

4. Екі функцияның қатынасының шегі шектердің қатынасына тең болады (әрине, егер бөлімдегі функция нолден өзгеше болса), яғни = .

5. Мысал. функциясының жағдайдағы шегін табу керек.

6. Шешуі. Қысқаша айтсақ шек есептеу керек. Функция шегінің қасиеттерін қолданып есептейік: . функциясының жағдайдағы шегі 4 болады екен.

62. Функцияның ақырсыздықтағы шегі.Ақырсыз аз және ақырсыз үлкен функциялар

Анықтама. функциясының жағдайда шегі ноль болса, яғни , онда функциясы жағдайда ақырсыз аз функциядеп аталады.

Осы анықтаманы “ ” тілінде былай да айтуға болады: Кез келген үшін саны табылып, теңсіздігін қанағаттандыратын барлық х-тер үшін теңсіздігі орындалса, функциясы жағдайда ақырсыз аз функция деп аталады.

Ақырсыз аз функция қасиеттері.

1.Егер функциясының жағдайда А шегі бар болса, онда функциясын осы А саны мен жағдайда ақырсыз аз болатын функцияқосындысы түрінде жазуға болады,яғни .

1. Ақырсыз аз функцияның шенелген функцияға (сонмен қатар, тұрақтыға, басқа ақырсыз азға) көбейтіндісі ақырсыз аз функция болады.

2. Ақырсыз аз функцияның шегі нолден өзге функцияға қатынасы ақырсыз аз функция болады.

Анықтама. функциясының жағдайда шегі шексіздік болса, яғни , онда функциясы жағдайда ақырсыз үлкен функция деп аталады.

Ақырсыз аз функция мен ақырсыз үлкен функция арасында мынадай байланыс бар: Егер функциясы жағдайда ақырсыз аз болса, функциясы жағдайда ақырсыз үлкен болады.Мысалы, функциясы жағдайда ақырсыз аз функция болады. Шынында да, шегін есептейік. .

Ал функциясы жағдайда ақырсыз үлкен функция болады, яғни оның шегі шексіздік. Шынында да, шегін есептейік. .

Мұндағы қатынасты шектер тілінде “ақырсыз азға кері шама ақырсыз үлкен” дейді де, шексіздікке теңестіреді.

Ақырсыз аз функциялар нолге әртүрлі жылдамдықпен жақындайды. Көптеген жағдайда ақырсыз аздардың нолге ұмтылу жылдамдығын анықтау үшін оларды өзара салыстыру керек болады. Салыстыру үшін олардың қатынасының жағдайдағы шегін қарастырады.

Ақырсыз аздарды салыстыру

Айталық және жағдайда ақырсыз аз функциялар және болсын. Онда, егер