3. Вывод основных соотношений четырехполюсника, содержащего активные и реактивные элементы и усилитель напряжения.

Рассмотрим четырехполюсник, изображенный на рис.2:

Z₀

U_вх

Z₁

Z_в

Z₂

Z_н

I_н

U_н

I₀

I_в

(I₀+I_н)

(I₀+I_в)

K

Рисунок 2 Изображение четырехполюсника. Z₀ ,Z₁, Z₂, Z_В ,Z_Н -сопротивление (Ом), U_ВХ, U_Н -напряжение (В), I_В, I_Н, I₀ -сила тока (А).

На вход четырехполюсника подается напряжение:

. (40)

Усилительный элемент имеет коэффициент усиления по напряжению . Его входное сопротивление (реально может быть учтено в ), выходное сопротивление (его наличие может быть учтено в ). Величины , зависящие от , считаются заданными. Неизвестными являются токи и напряжение , связанное с соотношением:

(41)

Обозначения для токов введены таким образом, что первый закон Кирхгофа для всех узлов цепи выполняется автоматически.

В соответствии со вторым законом Кирхгофа составляем систему из трех уравнений для неизвестных :

Перепишем эту систему в стандартном виде:

(42)

Определитель системы (3.3) равен:

(43)

По формулам Крамера находим:

, (44)

, (45)

, (46)

где для кратности введено обозначение:

. (47)

Коэффициент усиления четырехполюсника по напряжению :

. (48)

Входное сопротивление :

. (49)

Напряжение холостого хода :

. (50)

Выходное сопротивление усилителя :

. (51)

Если , (что выполняется практически всегда), а (что соответствует режиму холостого хода), то выражения (48) и (49) приобретают вид:

, (52)

. (53)

Соотношения (51)_-(53) дают описание свойств четырехполюсника.

Остается открытым вопрос об устойчивости схемы. Характеристические уравнения для системы, аналогичные (29), получаются, если в выражении для определителя (44) сделать замену и найти корни уравнения:

. (54)

Для примера рассмотрим ситуацию, когда все сопротивления четырехполюсника, за исключением , являются действительными:

(55)

(параллельно активному сопротивлению включена емкость ).

Имеем:

. (56)

Из условия устойчивости, которое в общем виде имеет вид:

, (57)

- корни характеристического уравнения, которое в нашем случае имеет вид: .

Имеем:

. (58)

Из этого уравнения видно, что такая схема устойчива всегда при любых соотношениях , если . В частности, если .

Предполагая, что , условие устойчивости (58) можно записать в виде:

, где

есть коэффициент ослабления делителя напряжения, составленного из сопротивления обратной связи и включенных параллельно входу усилительного элемента сопротивлений и .