1.Уравнения Максвелла.

Базовой математической моделью для описания всего многообразия электрических, магнитных и электромагнитных явлений, включая распространение электромагнитных волн, являются уравнения Максвелла, которые в дифференциальной форме имеют вид:

, (1)

, (2)

_, (3)

_, (4)

где: с – скорость света = 3∙10¹⁰ (см/сек);

и - напряженности электрического и магнитного полей соответственно(А/м); и - вектора электрической(Кл/м²) и магнитной(Тл) индукции полей; - плотность электрического заряда; - плотность электрического тока, и связаны соотношением:

. (5)

Величины и следует понимать как усреднение по физически малому объему :

; , (6)

где и - величина и объем -го заряда.

Суммирование проводится по всем зарядам, содержащимся в объеме .

В модели, учитывающей реальное дискретное распределение и точечный характер зарядов, следует использовать выражение:

, (7)

где и - величина и радиус-вектор -го заряда системы, - трехмерная функция, которая относится к классу обобщенных функций и формально задается соотношением:

, , (8)

, интегрирование проводят по всему пространству.

В интегральной форме, более удобной для ряда приложений, уравнения Максвелла имеют вид:

, (9)

, (10)

, (11)

, (12)

где (по определению) :

, (13)

- электрический ток, протекающий через поверхность ;

, (14)

- магнитный поток, пронизывающий поверхность ;

, (15)

- суммарный заряд, находящийся в объеме

С - замкнутый контур, на который опирается поверхность ;

- замкнутая поверхность, ограниченная объемом .

Уравнения Максвелла позволяют, если заданы пространственные распределения плотности электрического заряда и плотности тока либо заданы положения и скорости ( и ) всех точечных зарядов системы, определить пространственные распределения напряженности магнитного и электрического полей.

Сила, которая действует на точечный заряд ( ) со стороны электрических и магнитных полей (сила Лоренца), определяется соотношением:

, (16)

- вектор магнитной индукции;

- скорость заряда.

Уравнения Максвелла ( ) совместно с уравнениями ( ) и системой уравнений механики ( , где - масса -го заряда; - сила Лоренца, действующая на него со стороны электрического поля; - силы другой природы, действующие на этот же заряд) образуют замкнутую систему уравнений , позволяющую в рамках классической физики описывать поведение любой заданной системы зарядов.

2. Уравнение Кирхгофа для переменных токов и напряжений в линейных электрических цепях.

Базовыми уравнениями для описания процессов в электрических цепях с изменяющимися во времени токами ( ) и напряжениями ( ) являются уравнения Максвелла в интегральной форме (1.9 – 1.12).

Рассмотрим электрическую цепь, содержащую источник переменной ЭДС ( ), активное сопротивление ( ), емкость ( ), индуктивность ( ).

Рисунок 1 Схема электрической цепи, содержащей источник переменной ЭДС (В) , активное сопротивление (Ом), емкость (Ф), индуктивность (Гн).

Представление любой электрической цепи в виде набора дискретных элементов есть приближенная модель , имеющая определенные границы своего применения, в частности, по номинальным значениям токов и напряжений и по характерным частотам токов и напряжений.

Любой участок цепи обладает как индуктивным, так и емкостным сопротивлениями.

Элементы цепи (сопротивления, индуктивности, емкости, проводники) конструируются таким образом, чтобы наилучшим образом выполнять определенную именно для него функцию.

Фундаментальное ограничение на такую модель связано с условием квазистационарности:

 , (17)

где - скорость света; - характерные (максимальные) размеры контура; - длина волны электромагнитного излучения, соответствующая частоте изменения электрического поля .

При сек^-1 :

 .

То есть, запас применимости модели, как по рабочим частотам, так и по габаритам радиотехнических устройств достаточно велик.

Рассмотрим в качестве замкнутого контура С нашу цепь. Для этой цепи интеграл по контуру разбивается на участки:

. (18)

Элементы цепи по определению обладают свойствами:

, (19)

(электрическое поле внутри источника ЭДС противоположно по направлению полю вне источника);

, (20)

(закон Ома);

, (21)

(связь между зарядом и напряжением по емкости);

, (22)

(по определению индуктивности);

Таким образом, вместо (18) с учетом (19) - (22) получаем

. (23)

Если учесть, что:

, (24)

то получаем дифференциальное уравнение второго порядка (линейное с постоянными коэффициентами) для неизвестной функции с заданной правой частью :

. (25)

Общее решение этого уравнения имеет вид:

, (26)

где - частное решение уравнения (25);

- общее решение однородного уравнения

, (27)

содержащее произвольные константы и ;

и - корни характеристического уравнения

, (28)

Уравнение (27) формально получается из уравнения (28), если заменить:

.

Решая задачу Коши при заданных начальных условиях

, , (29)

получаем единственное решение и .

Корни и точно как и постоянные и могут быть комплексными. Такое расширение решения уравнения (29) на комплексную область позволяет получить математически более удобную и компактную форму записи.

Физический смысл имеют только действительные заряды и токи, поэтому в результате решения задачи Коши функция всегда получается действительной.

Исследуем вопрос об устойчивости системы, описываемой уравнением типа ( ), если хотя бы один из корней и имеет положительную действительную часть:

или , то при любых малых и , . Так как в реальных системах из-за наличия шумов всегда существуют моменты времени, когда и , то в такой системе токи начнут неограниченно возрастать и уравнение типа ( )перестанет описывать процессы в этой системе.

В рассмотренном случае при , и . Решение всегда устойчиво, но в случае более сложных цепей, содержащих не только пассивные элементы, но и активные (усилители тока или напряжения), условия устойчивости могут выполняться не всегда. Если внешнее воздействие гармоническое, то есть

, (30)

то решение уравнения (25), соответствующее установившемуся режиму ( ), может быть найдено с помощью следующего приема.

Рассмотрим

, (31)

а также уравнение

, (32)

умножая уравнение (32) на мнимую единицу и складывая его почленно с уравнением (31) , преобразовав правую часть по формуле Эйлера (е^ix=cosx+iˑsinx),получаем уравнение:

, (33)

где есть комплексный аналог гармонического

воздействия (30).

. (34)

Таким образом, решаем уравнение (33) и затем, находя действительную часть , получаем действительное решение интересующей нас задачи. Ищем решение (33) в виде:

, (35)

тогда

; , и тогда с учетом этих соотношений из уравнения (33) получаем

. (36)

Это есть комплексный аналог закона Ома, если формально рассматривать индуктивность, емкость и активное сопротивление как комплекс сопротивлений:

. (37)

Для произвольного контура сложной электрической цепи имеет место комплексный аналог первого и второго законов Кирхгофа.

Если цепь содержит линейный усилитель напряжения, то есть устройство, в котором есть два входных и два выходных контакта, причем напряжения на входе и на выходе связаны в данном случае соотношением:

, (38)

где - коэффициент усилителя, то мы рассматриваем как дополнительный источник ЭДС, управляемый напряжением на входе .

В более общем случае линейная связь между напряжением на выходе и напряжением на входе задается соотношением:

, (39)

где - постоянный коэффициент;

- заданная функция, характеризующая данный усилительный элемент.

В соответствии с этим соотношением сигнал на выходе усилительного элемента зависит от сигнала на входе усилителя не только в данный момент времени, но и от его значений во все предыдущие моменты времени.