2. Индукцияны қолданып есептер шығару

Математикалық индукция әдісі, ұсынылған пікірдің не тұжырымның ақиқаттығын дәлелдеуге көмектесетін әдіс. Математикалық индукция әдісімен дәлелдеу екі кезеңнен тұрады.  1) Натурал сан n=1 болғанда (немесе бұл тұжырымның мағынасы болатын n-нің басқа мәндерінде) дұрыс болса  2) n=k (к >1) қандай бір натурал мәні үшін ақиқат деп ұйғарып, келесі n=k+1 үшін де ақиқат болса, онда тұжырым n- нің барлық натурал мәндері үшін ақиқат болады.  Математикалық индукция әдісі натурал n- ге тәуелді тұжырымдарды дәлелдеуге қолданылады. 1- есеп. Тақ натурал сандар үшін 1+3+5+...+ (2n-1) = n² болатындығын дәлелдеу керек

1. n = 1 болса S(1) = 1²

2. n = k үшін формула S(n) = n² орынды деп ұйғарып, n = k+1 үшін орынды болатындығын S(k+1) = (k+1)² дәлелдейік.

S(k+1) = 1+3+5+...+ (2k-1) + (2k+1) = S(k) + (2k+1) = k²+2k+1 = (k+1)² яғни S(k+1) = (k+1)² орынды екендігі дәлелденді. Сондықтан барлық натурал n сандар үшін орынды. 2- есеп. Натурал сандардың алғашқы n мүшелерінің квадраттарының қосындысы үшін 1²+2²+3²+4² +...+ n² =  теңдігінің орындалатындығын дәлелдеу керек.

1. S(1)= 1=1² =1 n=1 үшін орынды.

2. n=k үшін орынды деп ұйғарамызда, n=k+1 үшін дәлелдейік. 

S(k+1) = 1² +2² +3² + 4² +...+k² +(k+1)² = S(k) + (k+1)² =  +(k+1)² = = =   =  мұнан біз n=k+1 үшін формула орынды екендігін дәлелдедік, ендеше кез – келген  натурал n үшін формула орынды.

3-есеп. Кез- келген натурал n үшін мына теңдіктің орынды екендігін дәлелдейік  1+3+6+10+...+   = 

1. n=1 онда, 1=   орынды.

2. n=k үшін орынды деп ұйғарамызда,

n=k+1 үшін дәлелдейік.

1+3+6+...+  + =S(k)+   =  =  +   =   =  = =   формула n=k+1 үшін орынды. Онда теңдік кез- келген натурал сан үшінде орынды.

4-есеп. Tеңдіктің тура екендігін дәлелдеу керек. + + +...+ =  1) n=1 үшін  =  орынды. 2) n=k үшін орынды деп ұйғарып, n=k+1 үшін дәлелдейік + + +...+  +  = + = =  =  =  =   n =k+1 үшін дәлелденді, олай болса теңдік кез – келген натурал n үшін орынды.

5-есеп. Кез – келген натурал n >3 үшін   +  +   +…+  <   теңсіздігінің орынды екендігін дәлелдеу керек. 1) n=4 1+  +   +   = 1+   =   <  ; 2) n=k үшін орынды деп алып,  n=k+1 үшін дәлелдейміз + +  +...+  + <   +  = 2-   +  =  - + - - + =  + ( -  ) <   ; себебі  - < 0  n=k+1 үшін теңсіздік орынды. Сондықтан кез-келген натурал n>3 орынды болады.

6-есеп. 4ⁿ+15n-1 өрнегі натурал n 1 болғанда 9- ға бөлінетіндігін дәлелдейік.

1. n=1 болғанда, 4¹+15 1-1=18 9-ға бөлінеді.

2. n=k болғанда 4^k+15k-1 өрнегі 9-ға бөлінеді деп ұйғарып,

n=k+1 үшін 9-ға бөлінетіндігін дәлелдейік.

4^k+1+15(k+1)-1=4^k 4+15k+15-1+45k-45k-3+3=(4^k 4+60k-4)-45k+18= =4(4^k+15k-1)-9(5k-2) мұндағы 4(4^k+15k-1) де, 9(5k-2) де 9- ға бөлінеді, онда n 1 кез- келген натурал сан болғанда берілген өрнек 9- ға еселік болады.