2. Толымсыз индукция

Индукцияның толымсыз және толық болып бір-бірінен өзгешеленетін екі түрі бар. Зерттеу әдісі ретінде толымсыз индукция – жеке фактілер өте көп болып, бірақ олардың барлығын бірдей қарастырмай тек кейбіреулерін ғана қарастырып тек солардағы ерекшеліктерді байқап, осылар арқылы жалпы қорытынды жасайтын болсақ, бұл толымсыз индукция болып табылады. Толымсыз индукциямен жасалған қорытынды дұрыс болмады да мүмкін алғашқы жеке фактілерде бар ерекшелік, кейінгілерінде болмайтын жағдайлар кездеседі. Өйткені педагогикалық процесте, әсіресе жеке фактілер өте көп болып, олардың барлығын бірдей қарастыру мүмкін болмағанда, тек бірнеше дербес фактілерден жасалған қорытындының өзі де дұрыс болатыны адам практикасында бұрыннан сыналған. 5+2=2+5 демек a+b=b+a . Сабақ өту кезінде оқушыларға таныс жеке мысалдар алып, солардан қорытынды шығаратын болсақ, бұл оқушыларға түсінікті болады. Толымсыз индукция төменгі сыныптарда жиі қолданылады. Толымсыз индукция әдісін қолданып бір қорытынды тұңғыш рет жасалған болса, оны міндетті түрде әр түрлі әдіспен тексеру қажет. Бұл үшін бірнеше пікірлерден ұқсас қорытындылар жасап, дәлелдеуді күшейтеміз, дәл осы әдіспен мектепте прогрессия өтіледі: =

= = = = Бұл нәтижеге келгенімізбен, міндетті түрде дәлелдеу қажет. Математика дамуының алғашқы сатысында сондай-ақ жеке адамның және барлық адам баласының өмірінде математикалық шындықтарды танып білудің бірден-бір жолы бақылау мен тәжірибе, бір сөзбен айтқанда индукция болған. 2 мен 3-тің қосындысы 5 болатынын, екі нүктенің арасындағы ең жақын арақашықтық түзу екенін адамдар күнделікті бақылау арқылы білген. Миллион рет қайталанған тәжірибелермен көрген білгендерінен келіп, адамдарда оймен орындау қабілеті пайда болады.

2. Толық индукция

Барлық дербес жағдайларды қарастыра келіп шығарылған жеке-жеке қорытындыларды пайдаланып жалпы бір қорытынды жасауды толық индукция дейді. Егер жағдайлар саны шектеулі болып, олардың барлығын толық қарастырсақ, онда одан толық индукциямен жасалған қорытындының негізі бар деп есептейміз. Мысалы, 10-ға дейінгі жай сандарды 1=1; 2=1*2; 3=3*1; 4=1*4=2*2; 5=1*5; 6=1*6=2*3; 7=1*7; 8=1*8=2*2*2; 9=1*9=3*3; 10=1*10=2*5. Қорытынды 10-ға дейінгі сандардың ішінде 4 жай сан бар, қосымша дәлелдеуді қажет етпейді. Сонымен толық индукциямен жасалған қорытынды әркез ақиқат болады, сондықтан толық индукция ғылыми дәлелдеу әдісі болып табылады. Жеке жағдайлар шексіз көп болғанда, онда толық индукция емес толымсыз индукция қолданылады да, қорытындысының дұрыстығы математикалық индукциямен тексеріледі немесе математикалық индукция қолданылады. Көбінесе, математикада дербес жағдайлары өте көп болатындықтан, олардың барлығын қарастырудың мүмкіншілігі бола бермейді. Сондықтан толық индукцияда сирек қолданылады. Бірақ оның есесіне толық индукцияны қолдану мүмкіндігі болған жерде, ол арқылы жасалған қорытынды әрқашан дұрыс болады. Егер шексіз көп дербес жағдайлар жиынын өзара байланыссыз бөліктерден тұратан шектеулі жиындарға бөлу мүмкіндігі болса, онда ол дербес жағдайлар толық индукциямен дәлелденеді. Іштей сызылған бұрышты өлшеу туралы оқығанда негізінен 3 түрлі жағдайды қарастырамыз. а) Іштей сызылған бұрыштың бір қабырғасы шеңбер диаметрі болады.  б) Шеңбер диаметрі бұрыштың ішкі облысында жатады. в) Шеңбер диаметрі бұрыштан тыс жатады – бұларды дәлелдеуге толық индукция қолданылады. Бұл арада теореманы толық индукциямен дәлелденген деп аталады. Мысалы, «Натурал санның квадраты 2 мен аяқталады».

Санның соңғы цифры	1		2		3		4		5		6		7		8		9		0
		1		4		9		6		5		6		9		4		1		0

Индукциялық ой қорыту объектілердің арасында себепті байланыстар орнатады. Бақылау мен эксперименттің нәтижесінде объектілер арасында белгілі қатынастармен байланыстар орнатылады. Бұларға жасалатын индукциялық ой қорыту – белгіліден белгісізге көшу процесін ықтималдығы белгілі мөлшердегі ақиқат пікір деуге болады. Соңғы мысалдардан бұл индукцияны зерттеу индукциясы деп аталады. Оқыту процесінде бұл әдіс ұғымдардың немесе пікірлердің арасында белгілі бір логикалық байланыс орнату үшін қолданылады. Математиканы оқытуда бұл әдіс әр түрлі формада кездеседі (ұғымдар немесе ой арасындағы логикалық байланыс орнатуға, қабылданған математикалық анықтамалардың дәлелді әдістері ретінде, нақты тақырыпты оқыту тәсілі ретінде қолданылады).