Задачи для самостоятельного решения

Вычислить неопределенные интегралы:

1) 2)

3) 5)

4)

1.7.2. Интегрирование рациональных дробей

При интегрировании дробно-рациональных функций в общем случае, если дробь неправильная, то надо выделить из нее целую часть и представить в виде:

где – частное (многочлен); – остаток; – правильная рациональная дробь.

Тогда .

Например, рассмотрим рациональную дробь Здесь n = 3, m = 2, n > m следовательно, дробь неправильная. Выделим целую часть делением «уголком»:

Получим

Таким образом, интегрирование рациональной дроби в общем виде сводится к интегрированию многочлена и правильной дроби. Если правильная дробь не является простейшей, то многочлен, стоящий в знаменателе, разлагают на линейные квадратичные множители. Например,

Теорема 1.3. (о разложении правильной рациональной дроби на простейшие). Любая правильная сложная дробь единственным образом разлагается на сумму простейших дробей, при этом каждому множителю знаменателя вида соответствует сумма простейших дробей:

а множителю знаменателя где соответствует сумма простейших дробей:

где – действительные числа (назовем их неопределенными коэффициентами).

Для нахождения неопределенных коэффициентов применяется метод составления системы линейных уравнений относительно искомых коэффициентов или метод произвольных числовых значений. Рассмотрим эти методы на примерах.

Пример. Разложить на простейшие дроби:

Решение. Убедившись, что рациональная дробь – правильная, разложим знаменатель на множители:

Разложим правильную рациональную дробь на простейшие. Так как в знаменателе правильной дроби все множители стоят в первой степени, то рациональная дробь разложится на сумму простейших дробей I типа:

Приводим к общему знаменателю в правой части равенства и приравниваем числитель заданной и полученной дроби:

(1.1)

где А, В, С – неопределенные коэффициенты. Для того, чтобы их найти рассмотрим два способа.

1. Составление системы

В последнем равенстве раскроем скобки:

Сгруппируем члены с одинаковыми степенями:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа, запишем систему:

Решая систему, получим:

2. Способ подстановки произвольных числовых значений

При этом способе вычисления коэффициентов в равенстве (1.1) не надо раскрывать скобки. Так как это равенство является тождеством, то оно остается справедливым при любых значениях . Так как неизвестных коэффициентов три, то для их нахождения достаточно в данное равенство подставить вместо любые три частных значения . Этот метод особенно удобен, если вместо подставлять действительные корни знаменателя заданной дроби. В нашем случае это

_{В равенство (}1.1) подставим значения

В результате получили те же значения коэффициентов, что и в первом случае.

Итак,

Вычислим интеграл

Пример. Вычислить неопределенный интеграл

Решение. Так как подынтегральная функция – правильная сложная рациональная дробь, представим её в виде суммы простейших дробей. Разложим знаменатель на множители:

Корни знаменателя: Заметим, что при разложении рациональной дроби на простейшие множителю в сумме будет соответствовать одна дробь , а множителю – сумма двух дробей , т.е. разложение имеет вид:

Приведем дроби к общему знаменателю и приравняем числители:

Для нахождения коэффициентов применим сначала способ частных значений, подставляя вместо значения корней знаменателя:

Для нахождения коэффициента применим первый способ, но запишем только одно уравнение, приравняв коэффициенты при :

Таким образом,

Пример. Вычислить неопределенный интеграл

Решение. Подынтегральная дробь – правильная, разложим знаменатель на множители:

Так как квадратный трехчлен не имеет действительных корней, поэтому разложение функции на простейшие имеет вид:

Приравняем числители:

(1.2)

Подставляя: х₁ = 1, х₂ = –1 (корни знаменателя), получим:

х₁ = 1

;

х₂ = –1

12 = А(–1–1)((–1)²–1+1) + В(–1+1)((–1)²–1+1) + (С(–1)+D)(–1–1)(–1+1) 

 A = –6.

Запишем равенство (1.2) в виде:

Тогда

Зная , найдем остальные коэффициенты:

Таким образом,

Последний интеграл представляет собой интеграл от простейшей дроби третьего типа, рассмотрим его отдельно:

Итак,

Пример. Вычислить неопределенный интеграл

Решение. Подынтегральная функция – неправильная рациональная дробь, поэтому сначала выделим целую часть делением «уголком», это сделано в п. 1.7.2. Получим:

Последнее слагаемое представляет собой интеграл от правильной сложной дроби. Рассмотрим его отдельно. Знаменатель легко раскладывается на множители: .

Разложим подынтегральную функцию на сумму простейших дробей:

Приравняем числители:

Подставляем корни знаменателя:

Тогда

Итак, окончательно имеем: