1.4.4. Вычисление неопределенных интегралов с применением обобщенного второго табличного интеграла
Если во втором табличном интеграле
,
при
заменить переменную интегрирования
на дифференцируемую функцию
,
то получим следующую формулу:
или
.
Пример. Вычислить неопределенные интегралы:
1. 
.
2.
.
3.
.
Решение
3.
1.4.5. Вычисление неопределенных интегралов с применением формулы
Если числитель подынтегральной функции является производной знаменателя, то интеграл равен логарифму абсолютной величины знаменателя.
Данная формула представляет собой обобщение табличного интеграла 3, если вместо переменной подставить дифференцируемую функцию .
Пример. Вычислить неопределенные интегралы:
1. 
.
2.
.
3.
.
4.
.
Решение
1. 
.
2. 
.
3. 
.
4. 
.
Задачи для самостоятельного решения
1. Вычислить неопределенные интегралы, результаты проверить дифференцированием:
1)
3)
2)
4)
5)
7)
6)
8)
2. Вычислить неопределенные интегралы:
1)
4)
2)
5)
3)
6)
1.5. Замена переменной в неопределенном интеграле (метод подстановки)
Если интеграл не может быть вычислен непосредственно, то во многих случаях введением новой переменной интегрирования подынтегральное выражение может быть преобразовано к виду, интеграл от которого является табличным, или его можно преобразовать к табличному.
Пусть требуется вычислить интеграл
,
не являющийся табличным. Введем вместо
новую переменную
,
связанную с
зависимостью
,
где
– дифференцируемая функция, для которой
существует обратная функция. Тогда
и будет иметь место формула:
,
которая называется формулой замены переменной.
Важно иметь ввиду, что дифференциал
должен быть заменен на дифференциал
новой переменной
.
Пример. Вычислить неопределенные интегралы:
1. 
.
2.
.
3.
.
4.
.
Решение
1. Можно заметить, что
и множитель
есть в подынтегральной функции. Поэтому
подстановка
упростит интеграл и приведет его к
табличному.
Положим
,
тогда нам нужно найти дифференциал
этой переменной, т. е.
и получим:
,
где
– произвольная постоянная. Сделаем
обратную замену переменной:
2. Так как производная функции lnx
совпадает с производной подкоренного
выражения и равна
,
то удобно в качестве новой переменной
выбрать именно его. После замены
переменной вычисляем ее дифференциал.
Таким образом,
3. Так как
,
то интеграл можно записать в виде
Замечая, что
,
сделаем следующую подстановку:
4. После замены найдем дифференциал новой переменной и выразим dx, тогда
Задачи для самостоятельного решения
Вычислить неопределенные интегралы:
1) 
1.6. Интегрирование по частям
Пусть функции
и
имеют непрерывные производные, найдем
производную их произведения:
.
Проинтегрируем обе части равенства:
.
С учетом свойства 3 неопределенного интеграла имеем:
.
Кроме того,
Константу можно включить в неопределенные интегралы, входящие в это равенство, тогда:
После преобразований получим формулу интегрирования по частям:
Перечислим основные типы интегралов,
вычисляемых этим методом, и укажем
целесообразное разделение подынтегрального
выражения на
и
.
1. 
,
где
– многочлен степени
относительно
;
– произвольная
постоянная. В интегралах такого типа
рекомендуются обозначения:
В этих интегралах интегрирование по частям применяется столько раз, какова степень многочлена , т. е. раз.
Пример. Вычислить неопределенные интегралы:
1.
.
2.
.
3.
.
Решение
2. 
3. 
При вычислении этого интеграла формулу интегрирования по частям надо применить еще раз:
2.
где – многочлен степени относительно ; – произвольная постоянная. В интегралах такого типа рекомендуются обозначения:
Пример. Вычислить неопределенные интегралы:
1.
.
2.
.
Решение
1. 
2. 
3. 
При интегрировании функций вида
интегрирование по частям применяется
дважды, в результате чего получается
уравнение, из которого и находится
исходный интеграл. Такие интегралы
называются «круговыми» (циклическими).
Причем в обоих случаях в качестве
множителя
берется функция одного и того же
типа: показательная или тригонометрическая.
Пример. Вычислить неопределенные интегралы:
1. 
.
2.
Решение
1. 
Получили уравнение относительно исходного интеграла:
Отсюда найдем интеграл:
2. 
Получили уравнение относительно исходного интеграла:
