1. Неопределенный интеграл

1.1. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла

В дифференциальном исчислении основной задачей является нахождение от заданной функции её производной или дифференциала

Интегральное исчисление решает обратную задачу – нахождение самой функции по её производной или дифференциалу

Определение. Функция называется первообразной функцией для функции на заданном промежутке, если в каждой внутренней точке этого промежутка справедливо равенство или

Пример. Пусть имеем функцию Функция является первообразной для , так как Но функция тоже является первообразной функции так как и вообще – любая функция (где произвольная постоянная) есть первообразная для Таким образом данная функция имеет множество первообразных, причем можно показать, что любые две из них отличаются друг от друга на постоянное число.

Теорема 1.1. (о двух первообразных). Если и две первообразные функции на заданном промежутке, то разность между ними равна постоянному числу.

Доказательство. Покажем, что любые две первообразные от функции отличаются друг от друга лишь постоянным слагаемым.

Пусть F₁(х) и F₂(х) – две первообразные от , тождественно не равные между собой. Имеем:

Вычитая одно равенство из другого, получим т. е. Но если производная от некоторой функции (в нашем случае от ) тождественно равна нулю, то сама функция есть постоянная, следовательно, (где – вполне определенная постоянная), что и требовалось доказать.

Таким образом, выражение , где некоторая первообразная от , с – произвольная постоянная, охватывает все возможные первообразные от . Придавая различные значения мы будем получать различные первообразные.

Определение. Множество всех первообразных для функции на заданном промежутке называется неопределенным интегралом от функции и обозначается

Таким образом, по определению имеем

где  – знак интеграла; подынтегральная функция; подынтегральное выражение; х – независимая переменная; некоторая первообразная; с – произвольная постоянная.

_{Процесс нахождения первообразной для заданной функции} называется интегрированием. Очевидно, что действия дифференцирование и интегрирование являются взаимно обратными. То есть правильность интегрирования всегда можно проверить дифференцированием результата.

Геометрический смысл неопределенного интеграла. График первообразной называют интегральной кривой. В системе координат графики всех первообразных от данной функции представляют семейство кривых, зависящих от величины постоянной и получаемых одна из другой путем параллельного сдвига вдоль оси Для примера, рассмотренного выше, имеем:

Семейство первообразных геометрически интерпретируется совокупностью парабол.

Теорема 1.2. (о существовании неопределенного интеграла). Если функция непрерывна на заданном промежутке, то для этой функции существует неопределенный интеграл на этом же промежутке.

Найти неопределенный интеграл от функции – это значит найти все первообразные от неё (для этого достаточно указать одну из них). Поэтому и говорят неопределенное интегрирование, так как при этом не указывается, какая именно из первообразных имеется в виду.