4. Рассмотрим фигуру, ограниченную сверху и снизу несколькими линиями, заданными уравнениями
Е
Рис. 4.6
сли фигура не является криволинейной трапецией (рис. 4.6), ее разбивают на части и находят площадь как сумму площадей отдельных частей. Итак, для того, чтобы найти ее площадь фигуру разбивают на части таким образом, чтобы верхняя граница состояла только из одной кривой и нижняя тоже только из одной кривой. Таким образом,
5. Рассмотрим фигуру, ограниченную
осью
и линией, заданной уравнением
если функция
непрерывна на отрезке
и меняет на нем знак, то
Рис. 4.7
.Например (рис. 4.7),
6
Рис. 4.8
. Если фигура ограничена линиями
,
,
,
(рис. 4.8), то
.
7. Линия на плоскости задана параметрически:
Пусть данные уравнения определяют
функцию
тогда в формуле
сделаем замену
,
,
.
Получим формулу для вычисления площади в случае параметрического задания линии:
.
Пример. Найти площадь эллипса с
полуосями а и b,
уравнение которого задано параметрически:
.
Решение. Нам задан эллипс с центром
в начале координат с полуосями а и
b. Можно найти площадь
части эллипса, лежащей в первой четверти,
тогда
,
,
.
Найдем
Таким образом,
(кв.
ед.).
8. Вычисление площади в полярных координатах, площадь криволинейного сектора
Определение. Криволинейным
сектором называется плоская фигура,
ограниченная непрерывной кривой,
заданной уравнением в полярных
координатах
,
и двумя лучами
и
.
П
Рис. 4.9
Рис. 4.10
лощадь криволинейного сектора (рис. 4.9) выражается формулой
Пример. Найти площадь лемнискаты
Бернулли
.
(рис. 4.10).
Решение. Перейдем к полярным координатам:
Найдем область определения функции:
Фигура симметрична относительно начала
координат, Найдем площадь
заданной фигуры, лежащей в первой
четверти, т. е.
.
Итак, площадь данной фигуры равна
(кв. ед.).
4.2. Вычисление объемов тел по известным площадям поперечных сечений
Поставим задачу: найти объем тела
,
заключенного между плоскостями
и
(рис. 4.11), если известна площадь его
сечения плоскостью, проводимой
перпендикулярно оси
при любом
(такое сечение называют поперечным),
т. е. эта площадь является известной
функцией
причем
является непрерывной на
.
Для решения задачи сделаем следующее:
1) возьмем произвольную точку
и проведем плоскость
;
2) дадим xi приращение xi 0, проведем плоскость x = xi + xi;
3) из данного тела этими
плоскостями вырезан слой, объем которого
приближенно равен объему цилиндра с
площадью основания
и высотой
,
т. е.
;
4) объем тела
приближенно равен сумме объемов
:
;
5) точное значение
объема тела найдем, переходя к пределу
при
,
который существует, так как
непрерывна, и равен интегралу от
по отрезку
:
.
Рис. 4.11
Т
Рис. 4.12
аким образом, мы получили формулу для вычисления объема:
где – площадь поперечного сечения.
Используя полученную формулу, вычислим объем тела вращения.
Пусть криволинейная трапеция, ограниченная линиями у = f (x) (f (x) непрерывна на ), , , , вращается вокруг оси Ох (рис. 4.12), найдем объем полученного тела.
Поперечным сечением здесь является круг, его площадь равна:
.
Т
Рис. 4.13
огда объем тела вращения вычисляется по формуле
.
Если криволинейная трапеция, ограниченная
линиями
(
непрерывна на
),
,
,
,
вращается вокруг оси Оу (рис. 4.13),
получаем другую формулу для вычисления
объема тела вращения:
.
Пример. Найти объем тела, образованного
вращением вокруг оси
фигуры, ограниченной линиями:
,
,
.
Р
Рис. 4.14
ешение. Построим данную фигуру (рис. 4.14).Вычислим искомый объём:
=
(куб. ед.).
Если фигура ограничена снизу кривой
,
сверху –
и прямыми
,
,
то объем тела, образованного вращением
такой фигуры вокруг оси
,
вычисляется по формуле
.
П
Рис. 4.15
ример. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями: , .Решение. Построим данную фигуру (рис. 4.15).
Кривые
и
пересекаются при х = 4.
(куб. ед.).