Задачи для самостоятельного решения
Вычислить неопределенные интегралы:
1) 
6) 
2)
7) 
3) 
8) 
4) 
9)
5) 
10) 
3. Несобственные интегралы
3.1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
В предыдущих подразделах, рассматривая определенные интегралы, мы подразумевали, что интервал интегрирования конечен, и подынтегральная функция на нем непрерывна. Но довольно часто возникает необходимость распространить определение определенного интеграла на случаи бесконечного интервала интегрирования и разрывной подынтегральной функции. Несобственные интегралы бывают двух видов.
Пусть функция
непрерывна при всех значениях
из интервала
.
Рассмотрим
.
На интервале
функция
непрерывна, и мы можем вычислить интеграл
.
Пусть
.
Определение. Несобственным
интегралом первого рода от функции
называется
предел интеграла
при
.
Записывается это так:
.
Если предел существует и конечен, то интеграл сходится. Если предел не существует, то интеграл расходится.
Если первообразная функция
для подынтегральной функции
известна, то легко установить, сходится
несобственный интеграл или нет. С
помощью формулы Ньютона – Лейбница
получаем
.
Вычислить несобственный интеграл – это значит найти число (точно так же, как в определенном интеграле), или доказать, что он расходится (например, получить в итоге бесконечность вместо числа).
Аналогично определяется несобственный
интеграл на интервале
:
.
Если функция определена и непрерывна
на всей числовой оси, то можно рассматривать
несобственный интеграл на интервале
.
Пусть для некоторого числа
несобственные интегралы
и
сходятся. Тогда
.
При этом интеграл
называется сходящимся. Если хотя бы
один из интегралов, входящих в правую
часть, расходится, то несобственный
интеграл
называется расходящимся. Введенное
определение не зависит от выбора числа
.
Сходящемуся несобственному интегралу
можно придать определенный геометрический
смысл. Он заключается в следующем:
это площадь бесконечно длинной области
,
ограниченной сверху неотрицательной
функцией
,
снизу осью
,
слева – прямой
(рис. 3.1).
Рис. 3.1
Сходящиеся интегралы соответствуют
таким областям
,
площадь которых конечна (хотя сама
область
неограничена), а расходящиеся (в случае
)
– неограниченным областям с бесконечной
площадью. В случае, когда
при
,
часто пишут формально:
однако нужно ясно понимать, что эта запись означает расходимость интеграла и отсутствие у него числового значения.
Само определение значения интеграла
через предел интегралов по конечным,
но увеличивающимся отрезкам означает
исчерпание площади путем учёта все
большей её части
правый вертикальный отрезок, проведённый
при
,
отодвигается всё дальше и дальше в
бесконечность (рис. 3.2); в пределе будет
учтена вся площадь под графиком
.
Рис. 3.2
Если несобственный интеграл
сходится, то будем говорить, что
заштрихованная фигура на рис. 3.1 имеет
площадь, равную этому интегралу. Если
интеграл расходится, то говорить о
площади фигуры нельзя.
Заметим, что на несобственные интегралы без всяких изменений переносятся простейшие свойства определенного интеграла, если только все интегралы сходятся.
Запишем два замечательных несобственных интеграла, которые встречаются в приложениях:
(интеграл Пуассона);
(интеграл Дирихле).
Пример. Вычислить несобственные интегралы:
1. 
.
2.
.
3.
Решение
1. По определению имеем :
2. 
.
Интеграл расходится.
3. 
не существует, следовательно, интеграл
расходится.