2.4. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона–Лейбница

До сих пор мы рассматривали определенный интеграл с постоянными пределами интегрирования и . Предположим, что нижний предел интегрирования постоянный, а верхний – переменный. Придавая верхнему пределу различные значения, будем получать соответствующие значения интеграла; следовательно, при рассматриваемом условии интеграл является функцией своего верхнего предела. Таким образом, записывают:

.

О

Рис. 2.3

днако переменная в подынтегральном выражении служит лишь вспомогательной переменной – переменной интегрирования, пробегающей в процессе составления интеграла значения от до . Поэтому нагляднее употреблять такую запись:

.

Геометрически функция представляет собой площадь заштрихованной криволинейной трапеции, если . При этом функция возрастающая, так как с ростом площадь криволинейной трапеции увеличивается (рис. 2.3).

Теорема 2.3. Производная определенного интеграла по верхнему пределу равна значению подынтегральной функции при переменном верхнем пределе, т. е.

.

Из сформулированной теоремы вытекает, что является первообразной для функции . Тогда из теоремы о первообразной следует, что , где – какая-то первообразная функции . Итак,

Положим , получим . Отсюда , тогда

При , получим .

Так как обозначение переменной не играет роли, то получаем формулу

,

которая называется формулой Ньютона–Лейбница. Из формулы Ньютона–Лейбница следует, что для вычисления определенного интеграла нужно найти первообразную подынтегральной функции и затем подставить пределы интегрирования:

.

Символ называется двойной подстановкой.

Пример. Найти определенные интегралы:

1.  . 2. . 3.  .

Решение

1.

.

2. .

3. 

.

2.5. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле

Теорема 2.4. (о замене переменной). Если функция удовлетворяет условиям:

1) имеет непрерывную производную на отрезке ;

2) , ,

то для любой непрерывной на отрезке функции имеет место ра­венство:

.

Из теоремы следует, что, выполняя замену переменной в определенном интеграле, необходимо заменить и пределы интегрирования.

Пример. Вычислить определенные интегралы:

1. . 2.

Решение

1. 

.

2.

.

Рассмотрим теперь, как выполняется интегрирование по частям в определенном интеграле.

Пусть функции и имеют непрерывные производные на отрезке , тогда по правилу дифференцирования произведения получим:

.

Отсюда следует, что функция является первообразной для функции . А так как функция непрерывна на отрезке , то интеграл от нее существует, т. е. она интегрируема на этом отрезке, и по формуле Ньютона–Лейбница, имеем:

Итак, формула интегрирования по частям в определенном интеграле имеет вид:

.

Пример. Вычислить определенные интегралы:

1. . 2. .

Решение

1. 

.

2.

.