2.2. Экономический смысл определенного интеграла

Пусть непрерывная функция задает производительность труда на некотором предприятии в момент времени

Найдем объем продукции, произведенной за весь промежуток времени .

Разобьем отрезок на части точками , величина равна длительности – го промежутка времени,

Обозначим объем продукции, произведенной за промежуток времени . Эта величина приближенно равна

,

где – некоторый момент времени из промежутка .

Вся произведенная продукция примерно равна сумме этих частей:

.

Это приближенное равенство будет тем точнее, чем меньше разбиение отрезка . Поэтому за точное значение продукции примем предел, к которому стремится сумма при неограниченном измельчении разбиения отрезка:

,

что, согласно определению определенного интеграла, равно:

.

Пример. Пусть производительность цеха в течение рабочего дня изменяется в соответствии с функцией (ден. ед./ч). Начало рабочего дня соответствует ч.

Тогда стоимость произведенной к моменту времени , ч, продукции (объем произведенной продукции в стоимостном выражении) задается функцией:

.

За всю смену рабочий произведет продукции на

2.3. Свойства определенного интеграла

Далее будем предполагать интегрируемость всех рассматриваемых функций на выделенных отрезках интегрирования.

Рассмотрим сначала свойства определенного интеграла, которые имеют аналоги в случае интеграла неопределенного.

Свойство 1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т. е.

,

где  – некоторое число.

Доказательство. Представим интеграл, стоящий в левой части, как предел интегральной суммы и воспользуемся свойствами пределов. Тогда

.

Свойство 2. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т. е.

Доказательство. Свойства 2 аналогично свойству 1.

Перейдем теперь к свойствам определенного интеграла, которые не имеют аналогов в случае неопределенного интеграла.

Свойство 3. Если нижний и верхний пределы интегрирования поменять местами, то интеграл изменит знак:

Доказательство основывается на определении определенного интеграла.

Свойство 4. Для любых трех чисел справедливо равенство

если только все три интеграла существуют.

_{Доказательство}. Пусть и функция неотрицательна на . Согласно геометрическому смыслу определенного интеграла и , , где - площадь под кривой на отрезке _.

Тога при сделанных предположениях доказываемое равенство утверждает наличие следующего соотношения: .

Если и функция неотрицательна на , то получим – площадь под кривой на отрезке .

Аналогично доказывается это свойство при любом другом расположении точек , а также в случае отрицательности функции

Свойство 5. Если функция неотрицательна на отрезке , то .

Если функция неположительна на отрезке , то .

Доказательство. Рассмотрим случай на . Составим интегральную сумму для на : .

Здесь (функция неотрицательна по условию), . Следовательно, , а значит .

Доказательство в случае проводится аналогично.

Свойство 6.

Здесь отрезок интегрирования равен нулю, следовательно, и определенный интеграл тоже.

С геометрической точки зрения это означает, что если конец основания трапеции совместить с его началом, то трапеция превратится в прямоугольный отрезок – ординату f(a), площадь которого нужно считать равной нулю.

Свойство 7. Если для функций и на отрезке выполняется условие , то будет справедливым неравенство:

.

Доказательство. Рассмотрим функцию на отрезке . Проинтегрируем и применим свойство 5, тогда . Далее воспользуемся свойством 2: . Отсюда следует: .

Свойство 8 (об оценке определенного интеграла). Значение определенного интеграла заключено между произведениями наименьшего и наибольшего значений подынтегральной функции на длину интервала интегрирования, т. е.

где и – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке : .

Доказательство. Для доказательства нам понадобится вычислить интеграл: .

Возьмем две функции и .

на отрезке неотрицательна, т. е.:

,

т. е. .

Аналогично получаем: .

Свойство 9 (теорема о среднем). Если интегрируема на (где ), то на найдется такая точка : , что выполняется соотношение:

.

Из теоремы о среднем мы получили среднее значение непрерывной функции на отрезке :

.

Доказательство. Функция, непрерывная на отрезке, принимает на этом отрезке своё наименьшее и наибольшее значения. Тогда

.

Число заключено между минимальным и максимальным значениями функции на отрезке. Одно из свойств функции, непрерывной на отрезке, заключается в том, что эта функция принимает любое значение, расположенное между и . Таким образом, существует точка , такая что

.

Это свойство имеет простую геометрическую интерпретацию: если непрерывна на отрезке , то существует точка такая, что площадь криволинейной трапеции равна площади прямоугольника с основанием и высотой