Необходимый признак сходимости числового ряда Гармонический ряд

Теорема. Необходимый признак сходимости числового ряда.

Если ряд (13.1) сходится, то его общий член стремится к нулю, т.е. .

Следствие. Достаточное условие расходимости ряда.

Если или предел не существует, то ряд расходится.

Пример 1. Исследовать сходимость ряда:

Решение:

.

Гармоническим рядом называется ряд:

Данный ряд расходится (доказательство не приводим), хотя , так как этот признак не является достаточным для того, чтобы утверждать, что ряд сходится.

Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов (с положительными членами)

1. Признаки сравнения рядов.

Теорема 1. Пусть даны два знакоположительных ряда: (1) и (2). Если для всех n выполняется неравенство: (3). То из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1), а из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).

Замечания:

1. Теорема 1 справедлива и в том случае, когда неравенство (3) выполняется не для всех членов рядов (1) и (2), а начиная с некоторого номера N;

2. знакоотрицательный ряд переходит в знакоположительный путем умножения на «-1», что не влияет на сходимость ряда.

Теорема 2. Предельный признак сравнения.

Пусть даны два знакоположительных ряда (1) и (2). Если существует конечный, не равный нулю, предел , то ряды (1) и (2)сходятся или расходятся одновременно.

Пример 2. Исследовать сходимость ряда:

Решение. Сравним данный ряд с рядом геометрической прогрессии . Этот ряд сходится, т.к. q=1/2<1. Мы имеем . Следовательно, по теореме 1 исходный ряд сходится.

Пример 3. Исследовать сходимость ряда:

Решение. Сравним данный ряд с гармоническим расходящимся рядом.

Мы имеем . Следовательно, исходный ряд расходится.

Ряд, с которым сравнивают исследуемый ряд, называется эталонным.

В качестве эталонных рядов используются:

1) гармонический ряд Он расходится.

2) обобщенный гармонический ряд . При α>1 ряд сходится, а при - расходится.

3) Геометрический ряд . Ряд сходится при |q|<1, и расходится при .

Замечания:

1. при решении примеров иногда требуется отбросить несколько членов ряда, если сначала есть отрицательные члены, а затем ряд знакоположительный. По третьему свойству это не влияет на сходимость ряда.

2. Если общий член ряда представляет собой отношение двух многочленов, то при подборе эталонного обобщенного гармонического ряда значение α выбирают равным разности наибольших показателей степеней знаменателя и числителя.

II. Признак Даламбера

Теорема. Пусть дан ряд (13.1) с положительными членами и существует конечный или бесконечный предел . Тогда ряд сходится при l<1 и расходится при l>1.

Замечания:

а) если l=1, то ряд (13.1) может быть как сходящимся, так и расходящимся;

б) признак Даламбера целесообразно применять, когда общий член ряда содержит выражения вида n! или аⁿ.

Пример 4. Исследовать сходимость ряда:

Решение:

Пример 5. Исследовать сходимость ряда:

Решение: