12.2. Несобственные интегралы от неограниченных функций (II рода)

Пусть функция непрерывна на промежутке и имеет разрыв II рода при x=b. Тогда несобственные интегралы от неограниченной функции определяются следующим образом:

(3.4)

Если предел, стоящий в правой части равенства (3.4) существует, то несобственный интеграл II рода называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Аналогично, если функция имеет разрыв II рода в точке x=a, то полагают:

(3.5)

Если функция имеет разрыв II рода во внутренней точке , то (3.6)

В этом случае интеграл называется сходящимся, если оба правые интегралы сходятся.

Существуют два признака сходимости и расходимости несобственных интегралов II рода:

1. Если на промежутке функции и непрерывны, при x=b имеют разрыв II рода и удовлетворяют условиям , то из сходимости интеграла следует сходимость интеграла , а из расходимости интеграла следует расходимость интеграла .

2. Пусть на промежутке функции и непрерывны и при x=b имеют разрыв II рода. Если существует конечный предел , то интегралы и сходятся или расходятся одновременно.

Примеры.

1)

2)

Лекция 13 Числовые ряды

Числовым рядом (или просто рядом) называется выражение вида:

(13.1)

где - действительные или комплексные числа, называемые членами ряда; - общий член ряда.

Ряд считается заданным, если известен общий член ряда , выраженный как функция его номера n:

=f(n) (1.2)

Сумма первых n членов ряда (13.1) называется частичной суммой ряда и обозначается : (13.2)

Рассмотрим последовательность частичных сумм:

Если существует конечный предел последовательности частичных сумм ряда (13.1), то этот предел называют суммой ряда (13.1) и говорят, что ряд сходится. Записывают сумму ряда так:

(13.3)

Если не существует или , то ряд называют расходящимся. Такой ряд суммы не имеет.

Рассмотрим некоторые важные свойства рядов:

1. Если ряд (1.1) сходится и его сумма S, то ряд

(13.4),

где с – произвольное число, также сходится и его сумма равна сS. Если же ряд (1.1) расходится и с≠0, то и ряд (13.4) расходится.

2) Если сходится ряд (13.1) и сходится ряд и их суммы равны S₁ и S₂ соответственно, то сходятся и ряды , причем сумма каждого ряда соответственно равна .

Следствия:

а) сумма (разность) сходящегося и расходящегося рядов есть расходящийся ряд;

б) сумма (разность) двух расходящихся рядов может быть сходящимся или расходящимся рядом.

3) Если к ряду (13.1) прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд и ряд (13.1) сходятся или расходятся одновременно.

Следствие: если ряд (13.1) сходится, то его остаток:

(13.5) стремиться к нулю при n→∞, т.е. .

Ряд геометрической прогрессии

Это ряд:

(13.6)

где - некоторое число, q – знаменатель геометрической прогрессии.

Как известно, сумма первых n членов геометрической прогрессии находится по формуле:

(13.7)

Найдем предел этой суммы:

Рассмотрим следующие случаи в зависимости от величины q:

1) |q|<1, то , поэтому ,

т.е. ряд сходится и его сумма равна (13.8).

2) |q|>1, то , поэтому и ряд расходится.

3) |q|=1, то при q=1 ряд принимает вид и

, ряд расходится. При q=-1 ряд принимает вид . Следовательно, не существует и ряд расходится.

Вывод: ряд геометрической прогрессии сходится при |q|<1, и расходится при .