1.4.Основные свойства неопределенного интеграла

Следующие два свойства непосредственно вытекают из определения.

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, а дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

( )′= f(x) (1.2)

d( )= f(x)dx (1.3)

Благодаря этому свойству правильность интегрирования проверяется дифференцированием. Например, , так как

(x³ +C)′=( x³)′=3x²=f(x).

2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции F(x) равен сумме этой функции и произвольной постоянной С.

= F(x)+C (1.4)

3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

(1.5)

где - постоянный множитель.

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций:

(1.6)

5. Инвариантность (неизменность) формулы неопределенного интеграла.

Теорема. Если , то и - произвольная функция, имеющая непрерывную производную, х – независимая переменная.

Таким образом, формула неопределенного интеграла остается справедливой независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или любой функцией от нее, имеющей непрерывную производную.

Например, заменяя в формуле х на u, получаем . В частности, , .

1.4 Таблица основных неопределенных интегралов

Так как интегрирование есть действие обратное дифференцированию, можно получить таблицу основных интегралов путем обращения соответствующих формул дифференциального исчисления (из таблицы дифференциалов) и использования свойств неопределенного интеграла, например: .

Интегралы в приводимой ниже таблице, называются табличными.

В таблице основных интегралов переменная интегрирования x может быть как независимой переменной, так и функцией от независимой переменной.

Таблица основных интегралов

1. ;

2.

3.

4.

5. ;

6. ;

7.

8.

9. ;

10. ;

11.

12.

13.

14.

15.

16. ;

17.

18.

Рекурсивная формула:

Формула интегрирования иррациональностей следующего вида:

Лекция 2

Тема 2. Методы интегрирования

1. Метод интегрирования подстановкой (замены переменной интегрирования)

Пусть требуется вычислить интеграл , который не является табличным. Укажем два правила подстановки:

1) Независимую переменную х заменяют по формуле х=φ(t) (2.1), где φ(t) – дифференцируемая функция. Затем определяют dx=φ’(t)dt, а интеграл приводят к виду . Цель подстановки будет достигнута, если окажется, что вычисление этого интеграла проще, чем исходного.

Теорема. Пусть функция х=φ(t) определена и дифференцируема на некотором множестве Т и пусть Х – множество значений этой функции, на котором определена функция f(x). Тогда, если на множестве Х функция f(х) имеет первообразную, то на множестве Т справедлива формула:

(2.2)

Формула (2.2) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

В результате интегрирования получится функция независимой переменной t. Чтобы возвратиться к переменной x, надо из уравнения (2.1) определить t через x и подставить это значение в найденную функцию. Функция φ(t) должна иметь обратную для того, чтобы можно было определить t как функцию x.

2) Полагают, что (2.3). Эта подстановка отличается от предыдущей тем, что в (2.1) сама переменная x заменялась новой функцией φ(t), а здесь функция заменяется новой переменной t. Из уравнения (2.3) находят dx. Делают подстановку, находят интеграл и переходят к первоначальной переменной x.

Примеры.

1)

2)