Задание и исходные данные

1. Смоделировать случайную величину , имеющую нормальный закон распределения с параметрами . На основе выборки объема исследовать статистические характеристики случайной величины , решив следующие задачи.

   1. Построить гистограмму распределения и изобразить ее графически одновременно с теоретической плотностью вероятностей.

   2. Вычислить выборочное среднее и выборочную дисперсию.

   3. Найти оценки математического ожидания и дисперсии методом максимального правдоподобия. Указать несмещенную оценку дисперсии.

   4. Построить доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии, соответствующие доверительной вероятности .

   5. Проверить гипотезу о нормальном распределении случайной величины , используя критерий Пирсона при уровне значимости .

2. Смоделировать случайную величину , имеющую заданный непрерывный закон распределения (отличный от нормального) с заданными параметрами.

, где

Рассчитать аналитически , , и

На основе выборки объема исследовать статистические характеристики случайной величины , решив следующие задачи.

1. Построить гистограмму распределения и изобразить ее графически одновременно с теоретической плотностью вероятностей.

2. Определить точечные оценки математического ожидания и дисперсии.

3. При заданном виде распределения построить оценки входящих в него неизвестных параметров методом моментов.

4. Построить доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии, соответствующие доверительной вероятности .

5. Проверить гипотезу о виде распределении случайной величины , используя критерий Пирсона при уровне значимости .

1. Смоделировать случайный вектор , имеющий двумерный нормальный закон распределения с параметрами . На основе выборки объема исследовать статистические характеристики случайного вектора , решив следующие задачи.

   1. Найти точечные оценки параметров, входящих в распределение.

   2. Проверить гипотезу о независимости случайных величин и при уровне значимости .

   3. Найти эмпирические уравнения регрессии на и на и изобразить их графически одновременно с выборочными значениями.

Результаты моделирования и исследование статистических характеристик

1.1

По сгенерированной и представленной в приложении А выборке строим вариационный ряд

.

Весь промежуток разбиваем точками на непересекающихся интервалов .

Подсчитываем частоты попадания выборочных значений в -ый интервал .

Вычисляем относительные частоты

Считаем высоту столбца гистограммы , где . Очевидно, что в нашем случае все равны между собой.

Вычисляем теоретическое значение функции нормального распределения с заданными параметрами в середине интервала по формуле:

, где

Полученную информацию заносим в интервальный статистический ряд в форме таблицы:

Интервалы	Частоты	Относительные частоты	Высота столбца гистограммы	Теоретическое значение в середине интервала
	6	0.022	0.038	0.022
	10	0.036	0.064	0.065
	22	0.080	0.140	0.147
	37	0.135	0.236	0.254
	56	0.204	0.357	0.340
	53	0.193	0.338	0.350
	44	0.160	0.281	0.278
	30	0.109	0.191	0.170
	11	0.040	0.070	0.080
	6	0.022	0.038	0.029
Весь промежуток	275	1

1.2

Выборочным средним называется величина:

.

Выборочной дисперсией называется величина:

.

Для вычисления выборочного среднего по сгруппированным данным используется формула:

,

а для вычисления выборочной дисперсии используется формула:

.

Для вычисления выборочного среднего и выборочной дисперсии использовались стандартные функции Scilab. Полученные значения соответственно равны:

.

Для подсчета выборочного среднего и выборочной дисперсии по сгруппированным данным были написаны специальные алгоритмы. Полученные значения соответственно равны:

.

В обоих случаях полученные значения отличаются от истинных значений математического ожидания и дисперсии, равных, соответственно:

.

Для удобства приведем сравнительную таблицу полученных величин математического ожидания и дисперсии:

	Математическое ожидание	Дисперсия
Выборочные	5.142	1.112
По сгруппированным данным	5.151	1.219
Истинные	5.15	1.25

1.3

Составим функцию правдоподобия:

.

Учитывая, что и, следовательно, :

.

Найдем логарифмическую функцию правдоподобия:

.

Найдем первые частные производные по и :

, .

Запишем уравнения правдоподобия, для чего приравняем первые частные производные нулю:

Найдем критическую точку, для чего решим полученную систему уравнений относительно :

Найдем все вторые производные функции правдоподобия:

,

,

.

,

значит функция правдоподобия достигает своего максимального значения в найденной критической точке.

Следовательно, оценка математического ожидания функции с нормальным распределением по методу максимального правдоподобия равна , а оценка дисперсии равна . То есть,

.

Смещённой оценкой дисперсии служит выборочная дисперсия: .

Несмещённой оценкой дисперсии служит исправленная выборочная дисперсия:

Таким образом, несмещённая оценка дисперсии равна .

1.4

Пусть наблюдаемая величина имеет функцию распределения , зависящую от неизвестного параметра . При интервальном оценивании параметра ищут две такие статистики и ( и – случайные величины), для которых при заданном выполняется соотношение .

В этом случае интервал является -доверительным интервалом для параметра .

Доверительный интервал для математического ожидания (с неизвестным математическим ожиданием и известной дисперсией ):

,

где - выборочное среднее; - объем выборки; число - такое значение аргумента функции Лапласа , при котором , которое находится по таблице.

Истинное значение математического ожидания попадает в построенный доверительный интервал.

Доверительный интервал для математического ожидания (с неизвестным математическим ожиданием и неизвестной дисперсией ):

,

где - выборочная дисперсия, ; - объем выборки; число - -квантиль распределения Стьюдента с степенью свободы, который находится по таблице.

Истинное значение математического ожидания попадает в построенный доверительный интервал.

Доверительный интервал для дисперсии (при известном математическом ожидании ):

,

где числа и есть - и -квантили распределения с степенями свободы соответственно, которые находятся по таблице.

Истинное значение дисперсии попадает в построенный доверительный интервал.

Доверительный интервал для дисперсии (при неизвестном математическом ожидании ):

,

где - выборочная дисперсия, а и - соответствующие квантили распределения .

Истинное значение дисперсии попадает в построенный доверительный интервал.

1.5

Для проверки гипотезы о нормальном распределении заданной функции с помощью критерия Пирсона, выборочные данные мы группируем и представляем в виде интервального статистического ряда, где - интервалы группировки, - частоты попадания выборочных значений в интервалы соответственно ( ).

Теоретическая вероятность попадания случайной величины в при неизвестных параметрах распределения находится по формуле:

,

где ; - функция Лапласа, значение которой находится по таблице; среднее выборочное по сгруппированным данным ; дисперсия по сгруппированным данным

Теоретическая вероятность попадания случайной величины в при известных параметрах распределения находится по формуле:

,

где ; - функция Лапласа, значение которой находится по таблице; математическое ожидание ; дисперсия .

Для удобства представим интервальный статистический ряд в виде таблицы:

Интервалы	Частоты	Относительные частоты	Теоретическая вероятность	Теоретическая вероятность
	6	0.022	0.013	0.013
	10	0.036	0.037	0.033
	22	0.080	0.084	0.084
	37	0.135	0.143	0.144
	56	0.204	0.195	0.192
	53	0.193	0.201	0.198
	44	0.160	0.157	0.158
	30	0.109	0.098	0.098
	11	0.040	0.045	0.047
	6	0.022	0.017	0.018
Весь промежуток	275	1	1	1

Объем выборки , частоты попадания значений в выбранные интервалы , значит, мы можем вычислить статистику критерия по формуле:

,

При неизвестных значениях параметров распределения . Для заданного уровня значимости порог , где – число неизвестных параметров.

При известных значениях параметров распределения . Для заданного уровня значимости порог .

Поскольку и , то гипотеза о нормальном распределении заданной функции принимается.

2.1

, где .

Для генерации случайных величин с распределением арксинуса используется функция

, где – равномерно распределённая на отрезке случайная величина.

Подставляя в полученные формулы исходные данные, получаем:

По сгенерированной и представленной в приложении Б выборке строим вариационный ряд

.

Весь промежуток разбиваем точками на непересекающихся интервалов .

Подсчитываем частоты попадания выборочных значений в -ый интервал .

Вычисляем относительные частоты

Считаем высоту столбца гистограммы , где . Очевидно, что в нашем случае все равны между собой.

Вычисляем теоретическое значение плотности распределения с заданными параметрами в середине интервала по формуле:

, где .

Полученную информацию заносим в интервальный статистический ряд в форме таблицы:

Интервалы	Частоты	Относительные частоты	Высота столбца гистограммы	Теоретическое значение в середине интервала
	91	0.228	2.275	1.460
	29	0.072	0.725	0.891
	32	0.080	0.800	0.735
	28	0.070	0.700	0.667
	21	0.052	0.525	0.640
	27	0.068	0.675	0.640
	30	0.075	0.750	0.667
	25	0.063	0.625	0.735
	35	0.087	0.875	0.891
	82	0.205	2.050	1.460
Весь промежуток	400	1

2.2

Выборочным средним называется величина:

.

Выборочной дисперсией называется величина:

.

Для вычисления выборочного среднего по сгруппированным данным используется формула:

,

а для вычисления выборочной дисперсии используется формула:

.

Для вычисления выборочного среднего и выборочной дисперсии использовались стандартные функции Scilab. Полученные значения соответственно равны:

Для подсчета выборочного среднего и выборочной дисперсии по сгруппированным данным были написаны специальные алгоритмы. Полученные значения соответственно равны:

В обоих случаях полученные значения отличаются от истинных значений математического ожидания и дисперсии, равных, соответственно:

Для удобства приведем сравнительную таблицу полученных величин математического ожидания и дисперсии:

	Математическое ожидание	Дисперсия
Выборочные
По сгруппированным данным
Истинные

2.3

Требуется оценить один параметр , поэтому достаточно иметь одно уравнение относительно этого параметра. Приравняем центральный теоретический момент второго порядка центральному эмпирическому моменту второго порядка :

Приняв во внимание, что , , получим . Учитывая, что дисперсия распределения арксинуса равна , окончательно имеем .

Итак, точечной оценкой параметра распределения арксинуса служит .

Полученная оценка отличается от истинного значения параметра .

2.4

Пусть наблюдаемая величина имеет функцию распределения , зависящую от неизвестного параметра . При интервальном оценивании параметра ищут две такие статистики и ( и – случайные величины), для которых при заданном выполняется соотношение .

В этом случае интервал является -доверительным интервалом для параметра .

Доверительный интервал математического ожидания (с неизвестным математическим ожиданием и неизвестной дисперсией ):

,

где - выборочная дисперсия, ; - объем выборки; число - -квантиль распределения Стьюдента с степенью свободы, который находится по таблице.

Истинное значение математического ожидания попадает в построенный доверительный интервал.

Доверительный интервал для дисперсии (при неизвестном математическом ожидании :

,

где - выборочная дисперсия, а и - соответствующие квантили распределения .

Истинное значение дисперсии попадает в построенный доверительный интервал.

2.5

Для проверки гипотезы о нормальном распределении заданной функции с помощью критерия Пирсона, выборочные данные мы группируем и представляем в виде интервального статистического ряда, где - интервалы группировки, - частоты попадания выборочных значений в интервалы соответственно ( ).

Теоретическая вероятность попадания случайной величины в при неизвестных параметрах распределения находится по формуле:

,

где ; - функция Лапласа, значение которой находится по таблице; среднее выборочное по сгруппированным данным ; дисперсия по сгруппированным данным .

Для удобства представим интервальный статистический ряд в виде таблицы:

Интервалы	Частоты	Относительные частоты	Теоретическая вероятность
	91	0.228	0.051
	29	0.072	0.071
	32	0.080	0.091
	28	0.070	0.102
	21	0.052	0.114
	27	0.068	0.114
	30	0.075	0.104
	25	0.063	0.088
	35	0.087	0.068
	82	0.205	0.048
Весь промежуток	400	1

Объем выборки , частоты попадания значений в выбранные интервалы , значит, мы можем вычислить статистику критерия по формуле:

При неизвестных значениях параметров распределения . Для заданного уровня значимости порог , где – число неизвестных параметров.

Поскольку , то гипотеза о нормальном распределении заданной функции отвергается.

3.1

Выборочным средним называется величина:

.

Выборочной дисперсией называется величина:

.

Для вычисления выборочного среднего по сгруппированным данным определяется по формуле:

,

а для выборочной дисперсии используется формула:

.

Аналогичным усреднением находится и оценка корреляционного момента

, называемая выборочным корреляционным моментом:

.

С учетом этого оценка коэффициента корреляции , называемая выборочным коэффициентом корреляции, определяется по формуле:

Для вычисления выборочного среднего и выборочной дисперсии использовались стандартные функции Scilab. Полученные значения соответственно равны:

, , , .

Для подсчета выборочных среднего, дисперсии, корреляционного момента и коэффициента корреляции по сгруппированным данным были написаны специальные алгоритмы. Полученные значения соответственно равны:

, , , , , .

В обоих случаях полученные значения отличаются от истинных значений математического ожидания, дисперсии и коэффициента корреляции, равных, соответственно:

, , , , .

Для удобства приведем сравнительные таблицы полученных величин:

Случайная величина X	Математическое ожидание	Дисперсия
Выборочные	5.112	1.056
По сгруппированным данным	5.089	1.318
Истинные	5.15	1.25

Случайная величина Y	Математическое ожидание	Дисперсия
Выборочные	2.635	7.703
По сгруппированным данным	2.583	8.365
Истинные	2.4	8.5

Случайный вектор (X, Y)	Коэффициент корреляции
По сгруппированным данным	-0.430
Истинные	- 0.45

3.2

Гипотеза заключается в том, что функция распределения случайного вектора

,

где и - одномерные функции распределения координат вектора.

Сгруппированные данные о распределении координат вектора по плоскости удобнее представить в виде таблице, в которой по строкам расположены интервалы для случайной величины , а по столбцам – интервалы для случайной величины . В ячейках таблицы указаны частоты попадания в прямоугольник и относительные частоты .

	[-5.621, -3.944)	[-3.944, -2.267)	[-2.267, -0.590)	[-0.590, 1.087)	[1.087, 2.764)	[2.764, 4.441)	[4.441, 6.118)	[6.118, 7.795)	[7.795, 9.472)	[9.472, 11.149]
	0 0.000	0 0.000	0 0.000	0 0.000	1 0.004	0 0.000	2 0.007	2 0.007	0 0.000	1 0.004	0.022
	0 0.000	0 0.000	0 0.000	1 0.004	1 0.004	3 0.011	4 0.015	2 0.007	1 0.004	1 0.004	0.047
	0 0.000	0 0.000	2 0.007	2 0.007	2 0.007	4 0.015	8 0.029	5 0.018	2 0.007	0 0.000	0.091
	0 0.000	0 0.000	1 0.004	5 0.018	7 0.025	14 0.051	10 0.036	2 0.007	3 0.011	0 0.000	0.153
	0 0.000	3 0.011	7 0.025	9 0.033	14 0.051	18 0.065	11 0.040	4 0.015	1 0.004	0 0.000	0.244
	1 0.004	4 0.015	4 0.015	13 0.047	16 0.058	11 0.040	9 0.033	1 0.004	0 0.000	0 0.000	0.215
	1 0.004	3 0.011	5 0.018	5 0.018	11 0.040	12 0.044	3 0.011	0 0.000	0 0.000	0 0.000	0.145
	0 0.000	2 0.007	3 0.011	6 0.022	2 0.007	1 0.004	0 0.000	0 0.000	0 0.000	0 0.000	0.051
	0 0.000	0 0.000	0 0.000	2 0.007	1 0.004	2 0.007	1 0.004	0 0.000	0 0.000	0 0.000	0.022
	1 0.004	1 0.004	0 0.000	0 0.000	0 0.000	0 0.000	0 0.000	0 0.000	0 0.000	0 0.000	0.007
	0.011	0.047	0.080	0.156	0.200	0.236	0.175	0.058	0.025	0.007	1

Для использования критерия независимости Пирсона проверки гипотезы необходимо, чтобы в каждом из выделенных прямоугольников было не менее 5 значений. Для этого производим перегруппировку представленных выше данных:

	[-5.621, -3.944)	[-3.944, -2.267)	[-2.267, -0.590)	[-0.590, 1.087)	[1.087, 2.764)	[2.764, 4.441)	[4.441, 6.118)	[6.118, 7.795)	[7.795, 9.472)	[9.472, 11.149]
	0 0.000	0 0.000	0 0.000	6 0.022			6 0.022	7 0.025			0.022
	0 0.000	0 0.000	0 0.000								0.047
	0 0.000	0 0.000	10 0.036		6 0.022		8 0.029	7 0.025		0 0.000	0.091
	0 0.000	0 0.000			7 0.025	14 0.051	10 0.036	5 0.018		0 0.000	0.153
	0 0.000	10 0.036		9 0.033	14 0.051	18 0.065	11 0.040	6 0.022		0 0.000	0.244
	9 0.033		9 0.033	13 0.047	16 0.058	11 0.040	12 0.044			0 0.000	0.215
				5 0.018	11 0.040	12 0.044		0 0.000	0 0.000	0 0.000	0.145
	7 0.025			8 0.029	7 0.025			0 0.000	0 0.000	0 0.000	0.051
								0 0.000	0 0.000	0 0.000	0.022
				0 0.000	0 0.000	0 0.000	0 0.000	0 0.000	0 0.000	0 0.000	0.007
	0.011	0.047	0.080	0.156	0.200	0.236	0.175	0.058	0.025	0.007	1

Статистика критерия независимости имеет вид:

, где

где и - число интервалов группировки выборочных значений случайных величин и соответственно; и - частоты интервалов группировки выборочных значений случайных величин и соответственно; - частота прямоугольника, сторонами которого являются -й интервал группировки выборочных значений случайной величины и -й интервал группировки выборочных значений случайной величины .

По заданному уровню значимости находим по таблице порог .

По сгенерированной выборке вычисляем значение статистики .

Так как , то гипотеза принимается, следовательно, величины и независимы.

Другой способ проверки гипотезы - критерий проверки значимости коэффициента корреляции - основан на том факте, что для нормального распределения случайного вектора равенство коэффициента корреляции нулю означает одновременно и независимость координат вектора. Поэтому гипотеза о независимости случайных величин и в этом случае может быть сформулирована как гипотеза .

Статистикой критерия для проверки данной гипотезы является:

,

где - выборочный коэффициент корреляции.

По заданному уровню значимости находим по таблице порог .

По сгенерированной выборке вычисляем значение статистики .

Так как , то гипотеза отвергается, следовательно, случайные величины и являются зависимыми.

3.3

Функцией регрессии случайной величины на случайную величину называется условное математическое ожидание . Эта функция наилучшим (в среднеквадратическом смысле) образом описывает зависимость случайной величины от случайной величины .

Известно, что если вектор имеет двумерный нормальный закон распределения , то функция регрессии случайной величины на случайную величину является линейной и имеет вид:

.

Заменяя в этом уравнении на их точечные оценки соответственно, получаем эмпирическое уравнение регрессии случайной величины на случайную величину вида:

Аналогично определяется функция регрессии случайной величины на случайную величину . При этом эмпирическое уравнение регрессии случайной величины на случайную величину в нормальном случае имеет вид:

.

Геометрически уравнение регрессии представляет собой прямую, около которой группируются значения случайного вектора . Чем ближе значение выборочного коэффициента корреляции к 1, тем плотнее значения вектора располагаются вдоль прямой регрессии.

Для сгенерированной выборки эмпирические уравнения регрессии следующие:

Графики эмпирических уравнений регрессии вместе с выборкой представлены на графике ниже:

В заключение заметим, что с увеличением объема выборки качество всех статистических выводов увеличивается. Качество построения доверительных интервалов увеличивается при уменьшении доверительной вероятности , а качество проверки гипотез увеличивается при уменьшении уровня значимости .

Эти элементарные соображения легко проверить опытным путем, внеся соответствующие изменения в представленные в приложениях А, Б и В программы.

Приложение А

Текст программы на Scilab 5.3.1:

function []=normal4(k)

k=int(k)

fd=mopen('E:\data.txt','w')

for i=1:1:k

d=0

for j=1:1:12

d=d+rand(1)

end

d=sqrt(1.25)*(d-6)+5.15

mfprintf(fd,"%.17f\n",d)

end

mclose(fd)

dold=read('E:\data.txt',k,1)

n=floor(1+3.32*log10(k))+1

histplot(n,dold)

dold=-dold

dnew=gsort(dold)

dold=-dold

dnew=-dnew

Y=exp(-(dnew-5.15)^2/(2.50))/2.80250

plot(dnew,Y)

fd1=mopen('E:\table.txt','w')

mfprintf(fd1,"Приближенное мат.ожидание - %.3f\nПриближенная дисперсия - %.3f\n",mean(dold),variance(dold)*(n-1)/n)

mfprintf(fd1,"\nmind maxd t otn srX srY height\n")

h=(dnew(k)-dnew(1))/n

all=0

Mx=0

Dx=0

for i=1:1:n

mind=dnew(1)+h*(i-1)

maxd=dnew(1)+h*i

j=1

t=0

while (dnew(j)<maxd)&(j<=k)

if dnew(j)>=mind then

t=t+1

end

j=j+1

end

if i==n then

t=t+1

end

all=all+t

otn=t/k

srX=(mind+maxd)/2

srY=exp(-(srX-5.15)^2/(2.50))/2.80250

height=otn/h

mfprintf(fd1,"%.3f %.3f %d %.3f %.3f %.3f %.3f\n",mind,maxd,t,otn,srX,srY,height)

Mx=Mx+t*srX

Dx=Dx+t*srX^2

end

mfprintf(fd1,"%d\n",all)

Mx=Mx/k

Dx=Dx/k

Dx=Dx-Mx^2

mfprintf(fd1,"\nВыборочное среднее - %.3f\nВыборочная дисперсия - %.3f\n",Mx,Dx)

mclose(fd1)

endfunction

Полученная с помощью представленной выше программы выборка случайных чисел:

4.92498830133156410

7.93483313698958350

4.88702603163254250

5.40992374433691130

6.14111829691647420

6.31058160715755450

7.55778395257330880

5.94877843452007760

4.28385541001690570

6.82236552236554330

4.39070350041393630

5.91490641255166770

5.83225573779152030

4.91520632126983250

7.50305123901665730

3.10731474183871900

4.08480280690217330

4.23595290687163390

6.04872376018531810

6.04241442482046230

5.43320630913644110

4.89392476464319870

5.90845428428664480

4.32611970109611300

4.20663735453498780

5.13796294565265210

5.65208190212750330

6.10798667054634240

5.59142524076440850

6.38758301593852810

4.92380649057911320

3.98117663646148930

4.94742866124417620

7.08378811838534080

5.00120570695199260

4.61035680741377350

4.01952854202011880

6.60218793334822250

3.76408203962143300

3.57593555038465860

4.78844110363999050

4.69398168427797020

6.31578570115149770

7.17572517138780430

4.43956491177895440

5.39907709834568280

6.53565381392176190

6.15114317984653520

3.74823579286378550

4.18869953581896760

6.64460521325046650

4.19707900171616370

5.40267585094803420

5.29491881568531220

4.34774957677073100

3.98646912011029770

5.61873855208781240

4.38112239002871020

5.69177829505434470

5.49324609217600470

6.99729959496558340

4.75350818090314230

4.38133567973870970

6.55135554346875540

4.54883205151647820

5.62172769845867750

4.69871573289968760

4.53180715107726770

5.25900117005145520

3.77593702406631330

4.17433532142822550

3.60989557049782310

5.16896760588445580

3.09008571469208660

6.44412504765415230

6.37994552001005300

5.58688025820587610

6.13666188727285800

5.03803641247269860

5.47005686505273130

4.70262135445836280

4.68340331434220940

5.18170459596744950

5.34376739884672160

2.61895939971133230

4.84906217090307300

5.34888764303707820

6.08856000552150080

5.26466813728560810

4.18370826505489290

3.41065340151976490

3.97487965449010930

3.71089775688036430

4.52611990861741110

2.78456646031762570

5.43155825982283510

7.15317756269502250

4.73656299025635530

5.16746722252238830

5.24415189962426350

5.45727735030777430

4.60990993610806580

5.50431895604087010

5.00250163040654440

5.49531204104716940

3.19858872665465690

4.84559866421876690

4.71547857146517750

4.87194294636957710

2.72570185734864760

5.31614413646612590

3.37000089925396380

4.78176863848298430

6.90797535548812030

3.96596701013292740

5.08022078550942440

6.09620598972236390

5.86229993209313880

5.62764364113286850

3.99406554912722010

4.33233722317514050

6.85166567252785800

2.23268631207031730

4.97686644803520830

3.62833477205488460

5.77529532337820320

2.43944393411251870

5.16379786482017520

6.12213838657730760

5.61620510682513800

5.35930331136706960

5.69923418860173390

4.68423420708594400

5.81988182752066320

4.46980810150655120

6.70559686565779600

5.83735153342499920

2.85329986696275920

4.94418564139189520

5.60630341629973120

4.60069807806671350

6.41641402036886890

6.32182012144901770

6.62905633924647120

6.29162274673430930

7.57819081730388610

5.30333755754355620

5.71238426350093140

6.96002083527883640

5.05040725730269460

4.13586070660507770

4.48106680772369440

6.24572490030296020

5.74666780424510380

6.69989010600244940

5.21498163085848620

5.70145377603611790

6.33484357198259570

3.41584522542025760

4.69991749400775040

4.87969361370988790

6.09446319496210440

6.46213511248049510

4.84889715355665190

3.00974886468283250

5.23966184510118360

3.37674785962192560

5.43495643429876290

5.14692921856492090

5.47819822616294690

5.69172911472051000

4.65016122381100240

3.72498878884425900

6.09833561313143950

5.88887351421845210

4.13676042182817310

7.06599282600941510

3.40982485783669050

4.79155740749662580

6.19210096836821580

5.28028106067762070

5.83736323707829200

5.41555191875015220

6.50140691685789740

6.60257233796635750

5.41072773950308060

3.46573404261429110

4.75910232725681050

4.40996194937145700

5.15660778997756260

5.78364745853771020

6.34586224918221740

6.84982233463931500

5.12318039021422770

6.30977177265974290

6.11711988503557170

4.97583440239488790

6.29322907939618050

5.64911732093354860

3.49652543812610170

4.61195620951369540

4.43495699605271910

6.04007221975158610

4.15299709579564970

4.55076018049887310

2.95937774868312520

2.96914745032140280

3.78922819254520160

6.05672201185527560

5.65309448888235000

3.61853767303890010

5.47121403565825040

5.59899974521516340

3.82090904071722060

6.18249243561527620

3.41675906832732680

6.59079064921209580

3.67765462509886510

3.78043513370165970

4.79713965027694570

4.29587237135735120

5.66456706790965820

6.25862579151206160

5.69937329964086640

7.63026571866287910

5.00830179437816620

6.09012440495157570

6.21967754108567660

2.82613002326971370

4.57832469970294300

4.64858967723891680

4.31428296768636610

5.42034361931808740

6.50165723342831290

6.05909208078199060

5.30272214530043670

4.91182139982763300

6.01368946131995230

6.57679096405389710

4.53830278694453070

5.56975540606854920

6.55163891348846940

4.09022345596703560

4.73763457841779980

3.51391805818875370

4.66109173626582330

4.27049140399752770

6.47734027392780120

5.16222296958714730

6.20749552907880100

4.35976853731173900

7.63503870171554940

5.42906216629066840

5.69253055257595970

4.91065734864017860

3.94836175843046090

5.05483291257765810

4.70167054300089400

6.99110412240275810

4.10841325725393960

4.45675077285344300

5.75499577406781350

6.03521199658437450

5.72203816977663490

6.52393458352506970

5.03997213008722780

4.70063183335869810

4.81511153037254670

3.76001558237751340

5.26884197658973540

3.36527331471406520

4.21779335182323840

2.32086816669641970

5.05730126720202210

5.15845789182800820

Приложение Б

Текст программы на Scilab 5.3.1:

function []=fun2(k)

k=int(k)

for i=1:k

d=rand(1)

dold(i)=sin(%pi*(d-0.5))/2

end

n=floor(1+3.32*log10(k))+1

histplot(n,dold)

dold=-dold

dnew=gsort(dold)

dnew=-dnew

dold=-dold

for i=1:k

y(i)=1/(%pi*sqrt(abs(0.25-(dnew(i))^2)))

end

plot(dnew,y)

fd1=mopen('E:\data2.txt','w')

for i=1:k

mfprintf(fd1,"%.17f\n",dold(i))

end

mclose(fd1)

fd1=mopen('E:\tab4.txt','w')

mfprintf(fd1,"Приближенное мат.ожидание - %.3f\nПриближенная дисперсия - %.3f\n",mean(dold),variance(dold)*(n-1)/n)

mfprintf(fd1,"\nmind maxd t otn srX srY height\n")

h=(dnew(k)-dnew(1))/n

all=0

Mx=0

Dx=0

for i=1:1:n

mind=dnew(1)+h*(i-1)

maxd=dnew(1)+h*i

j=1

t=0

while (dnew(j)<maxd)&(j<=k)

if dnew(j)>=mind then

t=t+1

end

j=j+1

end

if i==n then

t=t+1

end

all=all+t

otn=t/k

srX=(mind+maxd)/2

srY=1/(%pi*sqrt(abs(0.25-srX^2)))

height=otn/h

mfprintf(fd1,"%.3f %.3f %d %.3f %.3f %.3f %.3f\n",mind,maxd,t,otn,srX,srY,height)

Mx=Mx+t*srX

Dx=Dx+t*srX^2

end

mfprintf(fd1,"%d\n",all)

Mx=Mx/k

Dx=Dx/k

Dx=Dx-Mx^2

mfprintf(fd1,"\nВыборочное среднее - %.3f\nВыборочная дисперсия - %.3f\n",Mx,Dx)

mclose(fd1)

endfunction

Полученная с помощью представленной выше программы выборка случайных чисел:

0.42612590390483790

0.44050029795591261

-0.27785374346945346

-0.44851797970042045

0.10124061196653168

0.27392483557352459

0.49288059407736712

-0.47872035545368352

-0.40308850044776734

0.45558490074914254

-0.48845648442398865

0.17104941325877032

-0.44082137137603372

0.49865369084480926

0.36461303383989635

-0.22790756434233297

-0.41425903080981741

-0.28809812751896291

0.31063327310830857

0.48939522233928501

0.33239964238426212

0.33069405455293410

0.20726658483685959

-0.19928146153059070

-0.08419025025225910

-0.00913299433431053

0.49969560453857548

-0.39036059002737133

0.16107930779662100

0.05697894997710918

-0.15291775842310068

-0.49948646043803102

-0.19082856432585410

0.19547667492332502

0.16500204173886107

0.49139032985278192

0.18581894538589797

-0.49908006358500384

-0.35492574015835787

-0.46182208466550390

-0.30369473404906627

0.42250728878541638

-0.17430628172834550

0.21476323687269805

-0.49944915427833719

0.43102695255660961

-0.49006527656848581

0.17393317302478703

0.49741061234505002

-0.49584167397821494

0.36984625064355092

-0.13415617783907430

0.20755077410895567

0.03466820287249692

-0.46495655940029801

-0.11758099270861290

0.07160763349783551

0.48509032314224182

0.27419085897121848

-0.26081457599554736

0.09181867701201979

-0.30682509722587265

-0.44085828248660469

-0.18344576121599218

0.43611450929993556

-0.09039561354304804

0.44927511854630864

0.28421924853374847

-0.49123632388559813

0.14961389850085838

0.42647557375825840

0.47147504547563684

0.49960443167917562

-0.02327400001661403

-0.16917850574985702

-0.37406951977431740

0.49846440210957305

0.25291938160560556

0.02522866224152092

0.07749829820839893

0.02841287458054958

-0.32608985492825049

0.42016903925842175

-0.48250477269353076

-0.10845149411475662

0.45587878517813379

0.08703947557864517

0.13653340355449434

0.35044696776163120

0.26546308374922056

-0.04911232412372570

0.32659128883534194

0.49287143952958001

0.48624799287778453

0.38710270646616779

-0.37855744507125372

0.12518842331683327

-0.15599391049065200

-0.36678479968145267

0.34019204007446485

0.48357427091569188

-0.48082660244278042

-0.01155775613509614

0.46687670594073816

0.26818609726432591

-0.49822184828019633

0.31909485483793409

-0.06289101302809518

-0.04231638052335347

-0.47928837275662978

0.37580393754200947

-0.33551237413032786

-0.49986293296386103

0.49849173850619766

0.32295272382833601

0.02998842810362696

0.29217604415837561

-0.49593902692634445

-0.42004015179737064

-0.24817332589110608

0.34312634834944278

-0.30702445167567083

-0.44268288158210328

-0.37214580936855118

-0.35382213033347798

-0.44300887321070365

0.44720328576213997

-0.44933157069269231

0.10701901296354570

-0.25417613946419304

-0.32035181335248680

0.46741301638135463

-0.25682287348407828

-0.17701279638965517

0.48101658931631647

0.09139543295094973

-0.21589552951091212

-0.25193622427604934

-0.20958212827154468

0.46291276360372552

-0.49626762794719514

0.48439123984421628

-0.26212456620811969

0.43661187152601000

-0.40802852805483847

0.43546924657219810

0.26619140136804376

0.36260246259576168

-0.46519914056394146

0.07481908859888742

-0.48306396514775013

-0.47177551511625920

0.41377876512944251

-0.49998940438358919

0.47425600622325953

-0.46076166787220474

-0.49469523740938404

0.47743717211628695

0.39192183842044342

0.28688324884830696

-0.21428066588485961

0.39160602448311388

0.44237298709871747

-0.14495896295544175

0.02411485161312816

0.14700619087897474

0.13635981511749076

-0.23461754039686056

0.15626491730749947

-0.49992350756385484

0.21997849864205413

-0.00219956338357930

-0.29833138137427984

-0.41124341613717069

0.02750345332151019

-0.28029384528521378

-0.09607792425300363

-0.33368243793908553

-0.38224751365651055

-0.27917940060016694

-0.05478753455385949

-0.47282701081927764

-0.41881690234443442

-0.27020691227975246

0.43312392355446633

0.38560980931336059

-0.40457664336799704

-0.43758437077002205

-0.49988619228362763

-0.26123044198909090

0.44358160324235385

-0.14612279830041500

-0.47417347754759159

-0.49666440630491310

-0.44507518500782428

-0.49435764369956403

0.40308735702515425

-0.49459381547809217

0.45811303113932145

0.20972495967235710

0.13140634570800355

-0.19596577744775151

-0.36343591003854842

0.41516930002262820

0.49667758139721674

-0.43314472953945460

0.05418578999672297

0.29017449323529698

0.27101137361211697

-0.15937982698673081

-0.36457009356877246

-0.44047619228684587

0.15657981092176723

0.22795896085395695

-0.34758018865190288

-0.23020156359982480

-0.31653403372668587

-0.28398167578122319

0.47832625370998211

0.08543921610877060

0.47320097758357715

0.38865371474964011

-0.45217662950612852

0.38079391365390924

0.07004022443282064

-0.48816439749063273

0.35227996596464128

-0.49885235823391882

0.14018947831265788

-0.31013386446840441

0.49301106340284390

0.40748381386151894

-0.48558707663929873

-0.04181293464366393

-0.43307929403625167

0.37632268580456629

0.44591005508167175

-0.27014933201722291

-0.14918231132988002

0.49898136510708491

-0.04772454548432206

-0.48732150327636559

0.49540095499086495

0.34420574987447233

-0.01855083181354009

-0.24140738747112689

0.48070519134836726

0.07066739125629427

-0.38483900427961765

0.49953747178622088

-0.40109328537825673

0.49998896604623144

0.10925957152604569

0.45564131597246921

0.17787465831233595

-0.32945466809658752

-0.49862768926566803

0.14105038033269962

0.06205459749117737

-0.49980521163711311

-0.15759385427701691

-0.48394169634358475

0.45080943518655203

-0.42658669245151920

-0.09503746167773389

-0.48737895177512791

0.38719097523899021

0.40477817710704733

0.45465038883121972

-0.23660841523898904

0.49996676644723470

-0.47081914565326149

0.48981426612160173

0.45166709977435243

0.49246084146024111

0.49916202974557961

-0.42307244737733846

0.07349012548922491

0.16870514105049406

-0.37641676002807734

-0.28327877563464676

0.49021734037470116

0.19150665580473467

0.22472998979424633

0.49929787316336038

-0.19288981030897681

-0.48886928159358467

-0.25827654743904715

-0.04441772676688005

-0.49817154774306732

0.37063303534000197

-0.43818711786111203

0.42319175706017309

-0.13559579519646073

-0.02962220772972666

-0.49267412067695859

0.19568839103611846

0.22278066570776647

0.39594475845849414

0.39641795534723417

-0.49999938818218503

-0.44213159165569793

-0.49800377489838443

-0.49992304029972651

0.41335956041250205

-0.49548584592469475

-0.46586738944596440

-0.34106279037332554

0.42283182682109333

0.45648538409262213

0.22930284924915376

0.27478899158826225

0.40270537723470062

0.49999842163047814

-0.49478838592911284

-0.45707190425569028

-0.42217636299224642

-0.24952041275109413

-0.45739745717455410

-0.22947878010748762

-0.13171045515313087

0.03497008451655785

-0.49951463423914211

-0.47850333086656566

0.08508068593537135

-0.02358573564902025

0.06365822425612874

0.31155191403960059

-0.41105528053549495

-0.15704876321542638

-0.36332149956543863

-0.47272710719678201

-0.22075040063722828

0.46804608003492842

-0.49136172637071890

0.08906206163872842

-0.13188247241384279

0.19459954341716709

0.33797103115321986

-0.10381633750323906

0.23366815702237032

-0.47062259101310294

-0.41975116587507394

-0.43010732061692269

0.05672997383023636

0.33237991684901563

0.27557004480261110

0.07322767167348217

-0.29377129528508894

0.49952402437902488

-0.30376337412522869

0.30252285299381310

0.49831407414666701

0.49091244948923107

-0.39042742402133274

0.47439819428725055

-0.17616940862115282

0.31836402951247800

0.15939378518491856

-0.16435929093246060

-0.32254038545151237

-0.36091347197951512

0.03739317872779725

0.11334872776700471

-0.46963329682715488

0.46892292671319163

-0.01286316115552423

0.18510965926830139

0.25195925432589927

-0.24823480258485400

-0.15323473343637986

0.42274825410965999

-0.49939902518633766

-0.28327280306941321

-0.41163108873181092

0.47944218764514041

0.49660308367285610

-0.13824620584337091

-0.47161462063000420

-0.07144718543264526

0.11918634735315757

0.39689788420396616

0.45991286476405091

0.34754347196309604

0.45335873050494718

0.45230232928167913

0.21603430044597560

-0.45986185012194025

-0.40845124685553930

0.36141945465624864

-0.48431603194518785

-0.29254389971806938

0.17988269849044505

0.42088330172710958

-0.19242385753001132

-0.01334478942972396

0.08086804174754660

0.33009286708363123

0.11358365429417358

-0.49873397734876196

Приложение В

Текст программы на Scilab 5.3.1:

function []=normal8(k)

k=int(k)

fd=mopen('E:\data21.txt','w')

fd1=mopen('E:\data22.txt','w')

for i=1:1:k

d1=0

d2=0

for j=1:1:12

d1=d1+rand(1)

d2=d2+rand(1)

end

d2=-0.45*sqrt(8.5)*(d1-6)+sqrt(8.5*(1-(-0.45)^2))*(d2-6)+2.4

d1=sqrt(1.25)*(d1-6)+5.15

mfprintf(fd,"%.17f\n",d1)

mfprintf(fd1,"%.17f\n",d2)

end

mclose(fd)

mclose(fd1)

dold=read('E:\data21.txt',k,1)

d=read('E:\data22.txt',k,1)

fd=mopen('E:\vector.txt','w')

for i=1:1:k

mfprintf(fd,"(%.17f, %.17f)\n",dold(i),d(i))

end

mclose(fd)

xmax=max(dold)

xmin=min(dold)

ymax=max(d)

ymin=min(d)

n=floor(1+3.32*log10(k))+1

fd=mopen('E:\t2.txt','w')

fd1=mopen('E:\tab7.txt','w')

mfprintf(fd1,"Приближенное MX - %.3f\nПриближенная DX - %.3f\n",mean(dold),variance(dold)*(n-1)/n)

mfprintf(fd1,"Приближенное MY - %.3f\nПриближенная DY - %.3f\n",mean(d),variance(d)*(n-1)/n)

mfprintf(fd1,"\nmindx maxdx mindy maxdy t otn\n")

hx=(xmax-xmin)/n

hy=(ymax-ymin)/n

all=0

otnall=0

Mx=0

Dx=0

My=0

Dy=0

R=0

mindx=xmin-hx

for i=1:n

mindx=mindx+hx

maxdx=mindx+hx

mindy=ymin-hy

for j=1:n

mindy=mindy+hy

maxdy=mindy+hy

w=1

t=0

for w=1:k

if (dold(w)>=mindx)&(dold(w)<maxdx)&(d(w)>=mindy)&(d(w)<maxdy) then

t=t+1

end

end

mfprintf(fd,"%3.d",t)

all=all+t

otn=t/k

otnall=otnall+otn

srX=(mindx+maxdx)/2

Mx=Mx+t*srX

Dx=Dx+t*srX^2

srY=(mindy+maxdy)/2

My=My+t*srY

Dy=Dy+t*srY^2

R=R+t*srX*srY

mfprintf(fd1,"%.3f %.3f %.3f %.3f %d %.5f\n",mindx,maxdx,mindy,maxdy,t,otn)

end

mfprintf(fd,"\n")

end

mfprintf(fd1,"%d %.3f\n",all,otnall)

Mx=Mx/k

Dx=Dx/k

Dx=Dx-Mx^2

My=My/k

Dy=Dy/k

Dy=Dy-My^2

R=R/k

R=R-(Mx*My)

rxy=R/sqrt(Dx*Dy)

mfprintf(fd1,"\nВыборочное среднее X - %.3f\nВыборочная дисперсия X - %.3f\n",Mx,Dx)

mfprintf(fd1,"\nВыборочное среднее Y - %.3f\nВыборочная дисперсия Y - %.3f\n",My,Dy)

mfprintf(fd1,"\nВыборочный корреляционный момент - %.3f\nВыборочный коэффициент корреляции - %.3f\n",R,rxy)

mclose(fd1)

mclose(fd)

plot2d(dold,d,-1)

x=(xmin:0.33:xmax)

y=My+rxy*sqrt(Dy/Dx)*(x-Mx)

plot2d(x,y)

y=(ymin:0.33:ymax)

x=Mx+rxy*sqrt(Dx/Dy)*(y-My)

plot2d(x,y)

endfunction

Полученная с помощью представленной выше программы выборка случайных векторов:

(4.92235405991678570, 5.11788856060347010)

(4.62519327150361280, 1.46991958691175520)

(4.66817859925565240, -1.49976602683549930)

(3.11984559455997520, 5.43257842382130820)

(5.17892606225208140, 2.41821399656665560)

(4.84907221376214800, 2.19227314652565220)

(5.18575343213266220, 5.28267578557775690)

(5.56115036891414860, 3.03459999707125140)

(6.25857586668426700, -1.94824453308005860)

(6.91770894344248970, -3.29518429269427980)

(5.53884577137972740, -0.31793344398398826)

(3.63633759377237810, 4.85127624883528700)

(4.12480771500205280, 4.32951464000273310)

(7.52831750745046510, 3.04794323010533970)

(6.51248143526947840, -1.07129926356397260)

(5.57234682502378130, 5.14168468642287020)

(4.38416900196199140, 1.74342639314889540)

(5.19491718441048270, 3.60871775720362420)

(4.00028754129375490, 5.48934028021153520)

(5.76044700777752980, 1.70789354645201350)

(5.51574044404005550, 2.90707708841992040)

(4.72046843966510820, -2.84771730047500380)

(5.77500233741203410, 5.61297490376045260)

(7.11691625136074000, 0.89891753672562391)

(5.57934001193100840, 5.62987042871352640)

(6.01653303777611810, -1.07651176190896130)

(4.65565947205394440, 0.81796231870951397)

(6.54859997556984740, 0.81940958758380034)

(4.45159090804819170, 3.31111546703335600)

(5.22130803127439160, 2.88448133422007750)

(6.45843771286664390, 3.73255981967962120)

(5.01521680941965280, 5.55801598874225890)

(4.94395555527342000, -0.75031793551112314)

(4.76193165940896980, 6.35747395592566900)

(6.51794718296702680, 5.76329672245953080)

(4.17525662489364360, 3.08723619441275150)

(6.09453166445761510, 4.10137285877647530)

(5.52824542689778480, 0.98326940556784015)

(5.33970520344025080, 0.38512825348340662)

(3.03187857069430590, 3.04615789339385130)

(5.40412021192059200, 4.61535891520889590)

(4.63672612642787650, 1.38122339643363160)

(5.24603432709005180, 2.69894771319149340)

(5.75914899349239030, 4.12427832317946040)

(3.30836139445063890, 2.64757865198473840)

(5.49279173740444190, 4.70193046938518750)

(3.66785840593937800, 7.83490935866097440)

(7.16759958417827650, 0.70262547282125198)

(5.41380260680430950, 4.72599967033803030)

(4.37439356095209850, 3.76719083655205460)

(5.44307646747922820, -0.04674808462601154)

(5.00260125411081890, 2.26899468425675540)

(4.60935462170810250, 3.98799649013106540)

(7.20252605116330800, 1.23739027729849390)

(3.80998490592044360, 5.79092884368110460)

(4.41650009011692650, 4.73766249543844430)

(5.66303934235614910, 0.78560084578047062)

(6.06251305135058070, 3.31590530029732640)

(5.00402523469139380, -1.89528862282333720)

(5.67024347824271760, 2.27738930768583980)

(3.97934401616221180, 4.18039158521072270)

(4.91878953529406270, 5.19554672204559240)

(4.77907032269018210, 3.93413766993331840)

(4.13338010375351850, 8.14024556480563710)

(4.60579904350789620, 1.82929385490082530)

(3.96242576474300280, -0.98835495393281336)

(5.17793422553307090, -3.60046110986139520)

(5.93653579363239730, 2.44727074325880080)

(2.10836618024454300, 7.03236372551791790)

(4.08326324441533470, -0.16256697376772067)

(4.47006628680543020, 5.44664115797727890)

(5.61073374158225930, 0.08540923720467664)

(6.28622027894081190, -2.68562713258734180)

(5.75188073324778330, 0.13115094007722039)

(4.97778905931099480, 1.91508214325931590)

(5.09397231677406560, 2.36808663681755100)

(6.39466164888604100, 3.27252109652566900)

(6.78352626689606990, 0.99961093777510257)

(5.25006038382260700, -2.15172516654818450)

(2.55088517634788130, 4.94764494690855020)

(5.80416970733699600, 0.21186182570115486)

(4.57418513523470780, 1.76345887228532710)

(5.65264333283168700, 3.48314083851781890)

(6.90718311916150980, -1.01496879876675420)

(4.11185915951954330, -0.56598275933958586)

(3.92681780360626220, -1.41576511785769950)

(5.01400424429855110, 2.54636692364670520)

(5.42666841204354090, 1.38594875918719480)

(2.73164994237813110, 2.62330833245063480)

(5.87102002532240520, 0.18761842724738154)

(5.09744867665198690, 1.68221702408376170)

(3.96045838478956650, 7.57014695755900210)

(3.77623323582588990, 5.76232234617510560)

(5.42695486416412100, 4.45132391764910370)

(7.24701944253957460, 5.74878877786058240)

(4.58630565516428490, 4.69268827538409460)

(5.58493550774505640, 1.77616621396397070)

(3.90372657063055550, 2.19871768053117120)

(5.67929267632831270, 2.25736913232608540)

(3.37253015140170830, 5.51111595530530000)

(4.95978649148676090, 1.34096765380398470)

(5.54527861568932680, 7.17074321313318920)

(4.25388766535304260, 4.17945023640399780)

(6.03049495470369210, 1.37831953851997140)

(6.10979109587018780, 1.55933557969684690)

(6.35005380327757770, 1.45187786401218450)

(6.41116095116739790, -0.73207150970578638)

(4.43589253549214210, 0.20819565748409952)

(3.88041957393415250, 5.63982274676209090)

(6.36936814655082270, 4.35383160978099150)

(8.46400239704442820, -5.62066458302582820)

(4.57959447215638790, -1.11624982781247480)

(6.11428729793499760, 4.46845204160327820)

(5.23527491288336220, 4.76251213354857850)

(5.18800513172607940, 1.10320696332784270)

(4.20697167605528400, 1.68557187978774590)

(4.58227105184932610, 0.30537197759294132)

(6.63270057886786900, 2.75502702257956060)

(4.35590740317182770, 5.68853284577314610)

(5.11626826776605450, 5.86022657486779860)

(4.05239273887127100, 9.12423392348780560)

(7.11910494281643300, 1.89049935257600320)

(3.25887881481088250, 4.40581407057604220)

(5.33236365583502800, 2.99319646664755590)

(6.63734353891396190, 0.87159240049099829)

(5.06875303475972490, 9.12876736651594280)

(5.47703015679061170, 2.09282319547775760)

(4.69694248052711050, 3.69229856596295970)

(6.20431396486005760, 2.36004704238361020)

(5.14485107144657490, 0.94289177300243798)

(5.22693756347801400, 4.48607007455732010)

(3.75046062507589450, -0.15440022424402944)

(4.02746970506026610, 3.39624922745152970)

(6.00117258009512610, 2.84084349575609350)

(3.01411835595824760, 5.06050993424889220)

(4.85017920443355080, 2.36350180058461580)

(5.43384965708366960, 2.37444696574627830)

(4.75419435339241760, 0.80234225177377372)

(4.51499705328473320, 4.56673045641207940)

(5.46196063277146140, -0.41793597074615851)

(5.26892407396907990, 5.10679628477740620)

(5.92736835949354110, 1.08043149513749450)

(6.04246351873052310, 2.05045334685426980)

(4.86847255597958470, 1.46328392457467670)

(5.78513838422336680, 3.83193440806940620)

(5.79864589952311430, 1.70411798275683330)

(3.49014486978745800, 5.18564710372922820)

(6.40525582916624980, 3.12432612961364060)

(4.34353931557260790, 4.66460205685391390)

(4.69885148382412510, 4.08279855852696900)

(5.74881334316490730, -1.09066273288532090)

(4.04431665165941730, 8.39190240094510290)

(4.59411478246104110, 4.06158859710771480)

(5.89364884320803210, -1.30339530467122260)

(5.63750258729250130, 2.96510445536746840)

(5.87284033075446830, -2.95618263927279880)

(5.29545399855211230, 1.94137380295467770)

(4.40320104145582200, 4.25207698233092120)

(3.38222142606792400, 2.69418430373925500)

(5.02430757421694190, 3.18129271217712970)

(2.55081545422826790, 6.87100932115541060)

(6.00874828406621830, 1.11751849657630010)

(5.49791987010701710, 2.41949708851702640)

(7.62934420902990240, 4.32176465936583830)

(5.46060275908948260, 2.07700056800446790)

(6.00996213200768100, 3.11517305646599940)

(4.66387731924567550, 4.79974727051629560)

(4.86487146264657430, 6.27005376352316720)

(3.69937896820630740, 4.32109402231607210)

(5.99545533296682900, -3.81588978158385620)

(5.43848430378742440, 1.48307361837679450)

(5.37709163673728610, 2.46780055678224960)

(4.41098821086640050, 4.98383977185765130)

(6.01654390009917340, -0.36396004096042978)

(3.01659669825542040, 8.44878164858620370)

(5.09457041094231310, -0.99791478619535523)

(5.37573996057705110, -3.65547479926556340)

(4.58724711202912250, 3.66883413778543680)

(3.35414751889056010, 11.14874918267648600)

(6.23481465162008950, 2.71644964355712750)

(2.83664695631444230, 6.65868138563838660)

(5.39249144534934820, 3.15239379713832870)

(6.39763709240305190, -0.19149137333312316)

(3.88786454684847000, 8.31483160910382680)

(6.03386705627228540, 2.39084735933517710)

(6.10777068712183450, 2.93748110885013420)

(2.73003108972273760, 4.60637876876465490)

(5.02287141517294080, -0.50939681866691044)

(3.66368357536497240, 0.47438702779044450)

(2.87128188987746390, 10.00425939618925900)

(4.87571221099614420, 4.26279912164940900)

(7.24545191935862040, -0.11007718667869337)

(5.24576286897368950, -1.06001153353748420)

(5.93640121411453950, 2.07677830322784640)

(5.93322260184037550, 3.22264044335034150)

(4.38785801013973220, 6.66903919366157890)

(5.34606669294977710, 5.88050120123849850)

(2.77656229955225560, 7.36823742752836530)

(5.29004559459069500, 4.08363195381185750)

(6.63358872371770940, -1.87782465897955800)

(4.81949798986273500, 4.10920376841056090)

(3.92464980387639080, 6.52919945956542770)

(5.26850374205083760, 3.72144404674409170)

(4.74030254176456460, 4.30401824331420530)

(5.21973094525074810, 1.98088022700715860)

(4.95984378524287810, 0.68680162980249948)

(5.53558887374354210, 2.45311244371388780)

(5.81690503141952140, -2.64681986731762690)

(5.44510902137099780, 0.87726687435339312)

(7.75026548852580890, -0.46454727982169564)

(3.10296209591054240, 4.03703819414479970)

(4.25466513779175060, 3.71136524203313380)

(5.09274692344935520, 4.28917607900051580)

(4.80050150281890530, 5.85748899179932270)

(6.86139564526120970, -1.38254661710541570)

(5.20592894770816010, -1.53597606980116690)

(3.34049661093047500, 6.11044409511603700)

(6.08441949143299880, 4.86486013189529130)

(5.15778721522559190, 0.77138224412079537)

(5.57754188096518270, 0.54463530663969872)

(6.77318521872706910, -0.32059526516751147)

(5.50414852939917760, 0.95445127163496668)

(4.92634956220074470, 3.58989498937403040)

(6.32922256657762180, 3.62743257151138150)

(4.78586730472221510, 4.03849797534165230)

(5.48682685596648410, 4.46649074098198810)

(3.73776078680335110, 6.27000567132272300)

(4.64732492152938370, 6.13997842916643680)

(6.47894647851588700, -0.18937403945193010)

(5.80426198710295530, -2.06066707092348930)

(5.45164017636825270, 3.55798353216049130)

(4.00714404952253390, 4.66269404587261960)

(4.88108776142832030, -0.17835735975461864)

(4.69096470424552510, -0.11242408235458656)

(5.68210635119981690, -2.40231924875139000)

(5.22864433097813830, 4.42457246053442610)

(4.90006730524738290, 3.28323299966143440)

(4.43431899804949570, 3.56657187911100190)

(5.21418512957067560, 3.01578850815382490)

(4.24039144553647240, 3.70188403064336670)

(5.43422857223026060, 1.16272024656126720)

(3.54834414713927600, 4.38139921770246850)

(3.29560559522235370, 0.11795332049917828)

(4.37792624830586610, 5.42260321643600920)

(4.96265227885292410, 6.07369074300637020)

(6.83600061685743030, 3.70080461673425230)

(6.58107200736443150, -2.70604473983709190)

(5.20342488236375100, 4.25001762039574160)

(4.89925836205982270, 6.68244911809385480)

(5.26457826176657570, 1.22931894404931840)

(7.88961801442653870, -3.93784796122825260)

(5.85980074500635160, -4.33514817981772180)

(5.12067002426429600, 4.19911424199740680)

(3.91654604439675320, 6.46940847414461120)

(4.09315047405667440, 3.92489472732804720)

(6.18873847649857560, -4.51787062858840650)

(6.20228171084837140, -0.66072221627314942)

(5.21904220399700060, 6.32887208547362070)

(6.17875535187026070, -3.47518255475212130)

(4.49462598257422470, 0.81744880209604553)

(3.82808916641328430, 4.09103163760913450)

(5.58977229028567280, 2.90357633053718000)

(4.58964407020340200, 2.57698245753728460)

(5.37079235568525970, 1.73206055738316730)

(4.44316527727800900, 5.12224654779552320)

(6.61734905094938860, 0.35781367248152485)

(3.88420715935962410, 5.91871871566594980)

(5.16506602125316580, 0.89200456436817710)

(6.24708226273104470, 4.30918601277498860)

(6.11702052164387040, 2.40199953386976390)

(3.72943644886166310, 6.86706194120071700)

(5.39618260266769310, -2.17545988398832920)

(2.54801364128010070, 9.59340721157359690)

(4.83887395849331540, -3.38992257852932740)

(4.49109501120094020, 5.24452065454456400)