5.3 Уравнения Гельмгольца

Максвелл получил один из важнейших результатов электродинамики, доказав, что распространение электромагнитных процессов в пространстве с течением времени происходит в виде волны. Рассмотрим доказательство этого положения, т.е. докажем волновой характер электромагнитного поля.

Запишем первые два уравнения Максвелла в комплексной форме в виде

(5.6)

Возьмем второе уравнение системы (5.12) и применим к нему операцию ротора к левой и правой частям. В результате получим

(5.7)

Обозначим , которая представляет собой постоянную распространения. Таким образом

(5.7)

С другой стороны, на основе известного тождества в векторном анализе можно записать

, (5.8 )

где является оператором Лапласа, который в декартовой системе координат выражается тождеством

(5.9)

Учитывая закон Гаусса, т.е. , уравнение (3.15) запишется в более простом виде

, или

(5.10)

Аналогично, пользуясь симметрией уравнений Максвелла, можно получить уравнение относительно вектора , т.е.

(5.11)

Уравнения вида (5.10, 5.11) называются уравнениями Гельмгольца. В математике доказано, что если какой-либо процесс описывается в виде уравнений Гельмгольца, то это означает, что процесс является волновым процессом. В нашем случае делаем заключение: переменные во времени электрическое и магнитное поле неизбежно приводит к распространению в пространстве электромагнитных волн.

В координатной форме уравнение Гельмгольца записываются в виде

, (5.12)

где , , - единичные векторы вдоль соответствующих осей координат

или

,

,

.(3.20)

Тема 6. Плоские электромагнитные волны в неоднородной среде

6.1 Свойства плоских волн при распространении в непоглощающих средах

6.2 Гра­ничные условия

3. Отражение и преломление плоской волны на границе раздела сред

6.1 Пусть плоская электромагнитная волна распространяется вдоль оси z, тогда распространение волны описывается системой дифференциальных уравнений

(6.1)

где и - комплексные амплитуды поля,

(6.2)

Решение системы (6.1) имеет вид

(6.3)

Если волна распространяется только в одном направлении вдоль оси z, и вектор направлен вдоль оси x, то решение системы уравнений целесообразно записать в виде

(6.4)

где и - единичные орты вдоль оси x,y.

Если в среде отсутствуют потери, т.е. параметры среды _а и _а, и являются действительными величинами.

6.2 Распространяясь, электромагнитное поле всегда каким-либо образом испытывает ограничение в пространстве. Естественными границами могут быть, например, металлические стенки или границы раздела между средами с различными параметрами. Если параметры сред на границе раздела изменяются скачкообразно, то компоненты векторов электромагнитного поля также претерпевают разрыв в точках границы. Рассмотрим границу раздела двух сред (рис. 6.1).

1, 1

2, 2

Рис. 6.1. Граница раздела двух сред с различными параметрами

Среда 1 имеет параметры 1, 1; среда 2 имеет параметры 2, 2. На границе раздела выделим произвольную точку P. Пусть известно полное электромагнитное поле в бесконечно малой окрестности этой точки, относящееся к среде 1. Необходимо знать электромагнитное поле в такой же окрестности, принадлежащей среде 2. Именно к нахождению векторов электромагнитного поля во второй среде сводится задача. Стоит отметить, что параметры двух сред отличаются, но незначительно.

Любой вектор в пространстве расположенный отлично от нормали, проведенный к единичной площадке можно разложить на две составляющие: нормальную и тангенциальную.

Решение поставленной задачи поведения векторов электромагнитного поля будет рассмотрено в отдельности для тангенциальных и нормальных составляющих этих векторов на границе раздела двух сред.

Поскольку

,

то можно записать граничные условия для нормальной составляющей вектора напряженности магнитного поля

Из выше сказанного, очевидно, что индукция магнитного поля на границе двух сред непрерывна, а напряженность магнитного поля испытывает скачок, который зависит от параметров сред.

Поскольку можно записать граничные условия для нормальной составляющей векторов напряженности электрического поля

Таким образом, при отсутствии поверхностных электрических зарядов на границе раздела двух сред нормальные составляющие индукции электрического поля будут непрерывны, а нормальные составляющие векторов напряженности электрического поля будут испытывать скачок.

3. Отражение и преломление плоской волны на границе раздела сред

При распространении плоской электромагнитной волны в пространстве, представляющем собой области с различными значениями параметров и границей раздела в виде плоскости, возникают отраженные и преломленные волны. Интенсивности этих волн определяются через коэффициенты отражения и преломления.

Коэффициентом отражения волны называется отношение комплексных значений напряженностей электрического поля отраженной к падающей волн на границе раздела и определяется формулой:

(6.5)

Коэффициентом прохождения волны во вторую среду из первой называется отношение комплексных значений напряженностей электрического поля преломленной к падающей волн и определяется формулой

(6.6)

Если вектор Пойнтинга падающей волны перпендикулярен границе раздела, то

(6.7)

где Z₁,Z₂ – характеристическое сопротивление для соответствующих сред.

Характеристическое сопротивление определяется по формуле:

где

.

При наклонном падении направление распространения волны по отношению к границе раздела задается углом падения. Угол падения – угол между нормалью к поверхности и направлением распространения луча.

Плоскость падения – это плоскость, которая содержит падающий луч и нормаль, восстановленную в точку падения.

Из граничных условий следует, что углы падения и преломления связаны законом Снелля:

(6.9)

где n₁, n₂ - показатели преломления соответствующих сред.

Электромагнитные волны характеризуются поляризацией. различают эллиптическую, круговую и линейную поляризации. В линейной поляризации выделяют горизонтальную и вертикальную поляризацию.

Горизонтальная поляризация – поляризация, при которой вектор колеблется в плоскости, перпендикулярной плоскости падения.

Пусть на границу раздела двух сред падает плоская электромагнитная волна с горизонтальной поляризацией как показано на рисунок 6.3. Вектор Пойнтинга падающей волны обозначен . Т.к. волна имеет горизонтальную поляризацию, т.е. вектор напряженности электрического поля колеблется в плоскости, перпендикулярной плоскости падения, то он обозначен и на рис. 3.7 показан в виде кружочка с крестиком (направлен от нас). Соответственно вектор напряженности магнитного поля лежит в плоскости падения волны и обозначен . Векторы , , образуют правую тройку векторов.

Для отраженной волны соответствующие векторы поля снабжены индексом «отр», для преломленной индексом - «пр».

При горизонтальной (перпендикулярной) поляризации нахождение коэффициентов отражения и прохождения проводятся следующим образом (рис. 3.7).

1 среда

2 среда

Рисунок 6.3

Коэффциенты Г и Т при горизонтальной поляризации:

(6.10)

Вертикальная поляризация – поляризация, при которой вектор колеблется в плоскости падения.

При вертикальной (параллельной) поляризации коэффициенты отражения и прохождения выражаются следующим образом.

Для вертикальной поляризации записывается аналогичная система уравнений как и для горизонтальной поляризации, но с учетом направления векторов электромагнитного поля

Рисунок 6.4

Такую систему уравнений аналогичным образом можно привести к виду

Решением системы являются выражения для коэффициентов отражения и прохождения

(6.11)

При падении плоских электромагнитных волн с параллельной поляризацией на границу раздела двух сред коэффициент отражения может обращаться в ноль. Угол падения, при котором падающая волна полностью, без отражения, проникает из одной среды в другую, называется углом Брюстера и обозначается как .

(6.12)

(6.13)

Подчеркнем, что угол Брюстера при падении плоской электромагнитной волны на немагнитный диэлектрик может существовать лишь при параллельной поляризации.

Если плоская электромагнитная волна падает под произвольным углом на границу раздела двух сред с потерями, то отраженную и преломленную волны следует считать неоднородными, так как плоскость равных амплитуд должна совпадать с границей раздела. Для реальных металлов угол между фазовым фронтом и плоскостью равных амплитуд мал, поэтому можно полагать, что угол преломления равен 0.