МОДУЛЬ 6. «ЕЛЕМЕНТИ КВАНТОВОЇ ФІЗИКИ, ФІЗИКИ ТВЕРДОГО ТІЛА, АТОМА ТА ЯДРА»

6.1 ОСНОВИ ТЕОРІЇ

6.1.1. Квантова оптика

6.1.1.1. Закони теплового випромінювання. Поняття про кванти

Теплове випромінювання. Для того, щоб зрозуміти глибше, що призвело до квантової гіпотези та фактично до цілого напряму в фізиці – квантової фізики, необхідно, хоча б в загальних рисах описати те, як вчені прийшли до необхідності введення поняття про кванти.

На початку 19-го сторіччя відкриття явищ інтерференції та дифракції, які можна було пояснити тільки хвильовими властивостями світла, вирішило питання на користь хвильової теорії. Корпускулярну ж теорію було спростовано наукою як таку, що суперечить експериментальним фактам. Дещо пізніше були встановлені експериментальні дані, які електромагнітна теорія Максвела пояснити не може. Недостатність хвильових уявлень про світло вперше було виявлено при спробі пояснити загадковий характер теплового випромінювання розжарених тіл. Тоді було введено поняття про кванти електромагнітного випромінювання, з цього почалась квантова фізика.

Тепловим називають електромагнітне випромінювання, що випускає нагріте тіло. Поверхня будь-якого розжареного твердого (або рідкого) тіла дає суцільний неперервний спектр випромінювання, в якому, взагалі кажучи, присутні хвилі всіх довжин від 0 до . Однак частка енергії, що припадає на різні ділянки спектра, залежить від температури тіла: при температурі 900–1000 К найбільша енергія випромінювання припадає на інфрачервону та червону ділянки спектра (червоний жар). У разі подальшого нагрівання частка енергії, що припадає на видимі промені; збільшується, зростає і світіння – воно стає білим (білий жар). Таким чином, у спектрі випромінювання спостерігається нерівномірний розподіл енергії за довжинами хвиль. У стані рівноваги енергія, що її забирає випромінювання, неперервно поповнюється за рахунок поглинання теплоти від зовнішнього джерела; тому температура тіла не змінюється. Дослід свідчить, що навіть при однаковій температурі спектр випромінювання залежить від речовини нагрітого тіла. У цьому легко переконатися, нагріваючи в темноті дві однакові за розміром суцільні кулі – кам'яну і сталеву: кам`яна світиться набагато яскравіше. Але якщо замість суцільних куль нагрівати порожнисті, а їх випромінювання спостерігати через малий отвір у стінці кулі, то виявляється, що його спектральний склад вже не залежить від речовини кулі. Таке випромінювання назвали чорним, оскільки при зовнішньому освітленні кулі спостерігач завжди бачить перед собою однаково чорний отвір - незалежно від природи кулі. Чорний колір отвору зумовлений тим, що майже всі промені, які потрапили всередину порожнини кулі, багаторазово відбиваються там і назовні майже не виходять.

Для спрощення досліджень було запропоновано ідеалізоване теоретичне поняття – абсолютно чорне тіло, тобто тіло, що поглинає всю енергію падаючого на нього випромінювання будь-якої довжини хвилі. Такому визначенню добре задовольняє малий отвір (щілина) у порожнині, стінки якої підтримуються при постійній температурі Т. Випромінювання, що виходить із щілини в порожнині, цілком можна вважати випромінюванням абсолютно чорного тіла.

Теплове випромінювання – єдиний вид випромінювання, який може бути рівноважним. До рівноважних станів і процесів застосовуються закони термодинаміки. Приведемо деякі характеристики теплового випромінювання

1. Спектральна густина енергетичної світимості (випромінюваність) тіла – це потужність випромінювання з одиниці площі поверхні тіла в інтервалі частот одиничної ширини:

.

Одиниця вимірювання спектральної густини енергетичної світимості -Дж/(с∙м²)=Вт/м²

2. Здатність тіл поглинати падаюче на них випромінювання характеризується спектральною поглинальною здатністю:

.

Ця величина показує, яка доля енергії електромагнітних хвиль, що падає на одиницю площі поверхні тіла за одиницю часу з частотою від ν до ν + dν, поглинається тілом. Тіло, яке здатне поглинати повністю при будь–якій температурі усе падаюче на нього випромінювання будь–якої частоти, називається абсолютно чорним тілом. Отже, спектральна поглинальна здатність чорного тіла для усіх частот і температур тотожно рівна одиниці: . Поряд з поняттям абсолютно чорного тіла використовують поняття сірого тіла. Сіре тіло – це тіло, поглинальна здатність якого менша одиниці, вона однакова для всіх частот і залежить тільки від температури, матеріалу і стану поверхні тіла .

Знаючи спектральну густину енергетичної світності можна визначити інтегральну енергетичну світимість (інтегральну випромінювальність), яку називають енергетичною світимістю тіла:

.

Енергетична світимість тіла – це енергія, випромінювана з одиниці площі поверхні тіла, що світиться, за одиницю часу у всьому інтервалі частот (довжин хвиль) від 0 до ∞.

Закон Кірхгофа.

Відношення спектральної густини енергетичної світимості до спектральної поглинальної здатності не залежить від природи тіла; це відношення є універсальною функцією частоти (довжини хвилі) для всіх тілі при даній температурі:

.

Із цього закону випливає, що r_ν,Т – універсальна функція Кірхгофа – є спектральна густина енергетичної світимості чорного тіла; оскільки при маємо .

Використовуючи закон Кірхгофа, запишемо вираз для енергетичної світимості чорного тіла.

.

Теплове випромінювання абсолютно чорного тіла підлягає закону Стефана – Больцмана і закону Віна, а розподіл енергії в спектрі теплового випромінювання чорного тіла підлягає розподілу, що називається функцією Планка.

Закон Стефана - Больцмана:

Енергетична світність абсолютно чорного тіла пропорційна четвертому степеню його термодинамічної температури:

, (6.1.1)

де R – інтегральна енергетична світимість абсолютно чорного тіла; σ- стала Стефана - Больцмана, що має значення σ = 5,67·10^-8 Вт/м²·К⁴ ; T –термодинамічна температура, виражена в кельвінах (К).

Закон Стефана – Больцмана не відповідає на питання про спектральний розподіл випромінювання чорного тіла. Аналіз експериментальних кривих залежності r_λ,Т від довжини λ при різних температурах показав, що розподіл енергії в спектрі чорного тіла є нерівномірним. Всі криві мають явно виражений максимум, який зі зростанням температури зміщується в більш високочастотну область. Для максимуму кривої розподілу встановлений закон зміщення Віна:

, (6.1.2)

де -довжина хвилі, на яку приходиться максимум енергії випромінювання: b - стала Віна. Цей закон свідчить, що довжина хвилі λ_max, яка відповідає максимальному значенню спектральної густини енергетичної світимості r_λ,Т чорного тіла, обернено пропорційна його термодинамічній температурі (рис. 6.1.1). Експериментальне значення сталої Віна b = 2,9·10^-3 м·К.

Закони Стефана – Больцмана і Віна були сформульовані на підставі експериментальних досліджень та теоретичних міркувань, які випливали з класичної фізики. Але виходячи з хвильових уявлень, нікому не вдавалося теоретично пояснити експериментально встановлені залежності від , наведені на рис. 6.1.1.

6.1.1.2. Поняття про кванти. Квантова гіпотеза Планка

Формулу, що до найдрібніших подробиць відтворює спектр абсолютного чорного тіла, одержав у 1900 р. М. Планк, частково відмовившись від хвильових уявлень про світло. Аналіз складу світлового випромінювання показав, що його розподіл за частотами коливань не відповідає законам випромінювання, виведеним із хвильової теорії світла. Планк був вимушений припустити (квантова гіпотеза Планка), що енергія випромінювання випускається речовиною переривчасто, у вигляді окремих порцій – квантів енергії. При цьому величина кванта енергії Е є пропорційною частоті електромагнітного випромінювання (формула Планка):

, (6.1.3)

де h = 6,62·10^-34 Дж·с – стала Планка; ν – частота коливань електромагнітного випромінювання.

Гіпотеза Планка про переривчастий характер випускання енергії речовиною вступала в протиріччя з усім попереднім досвідом фізики. “Із часів Юнга і Френеля ми знаємо, що світло – це хвильовий рух. Сумніватися в цих фактах більше неможливо; спростувати ці погляди незбагненно для фізики. 3 точки зору роду людського хвильова теорія є очевидність” – писав у 1889 р. Г. Герц (який своїми працями довів справедливість теорії Максвела). А якщо світло – це хвильовий процес, то енергія в такому процесі повинна передаватися неперервно, а не порціями (квантами): адже енергія, яку переносить хвиля, є пропорційною квадрату її амплітуди; амплітуда ж може змінюватися на будь-яке мале значення.

На основі квантової гіпотези, згідно з якою електромагнітна енергія випромінюється у вигляді квантів, Планк теоретично вивів формулу для спектральної густини енергетичної світності чорного тіла:

Ця формула Планка не тільки узгоджується з експериментом, але містить усі окремі закони теплового випромінювання, а також дозволяє розрахувати сталі величини в законах теплового випромінювання.

Ейнштейн в 1905 р. висунув гіпотезу щодо дискретної природи світлового випромінювання, тобто про можливість розповсюдження світлової хвилі в просторі окремими квантами (частинками світлового випромінювання, що названі фотонами).

Гіпотеза світлових квантів отримала підтвердження і подальший розвиток при поясненні явища фотоефекту.

6.1.1.3. Гіпотеза Ейнштейна. Фотони. Фотоефект

Випромінювання виникає всередині атома, але, покинувши його, існує незалежно від нього. Планк вважав, що світло лише випромінюється і поглинається квантами, але розповсюджується як хвиля.

Подальший розвиток ідеї Планка належить Ейнштейну. В 1905 р. він висловив припущення: світло не тільки випромінюється квантами, як того вимагала гіпотеза Планка, але і розповсюджується (і поглинається) так само – квантами. Згідно з гіпотезою світлових квантів, висунутою Ейнштейном, випромінювання має дискретну структуру: воно складається з матеріальних частинок – “квантів випромінювання” (корпускул), кожна з них несе енергію і летить у просторі, зі швидкістю світла. Щоб підкреслити схожість світлових квантів з частинками, Ейнштейн пізніше став називати їх фотонами. Фотони випромінюються і поглинаються атомами тільки цілком і не можуть поділятися на дрібніші частинки.

Справедливість своєї гіпотези Ейнштейн довів, аналізуючи закономірності, відкритого в 1885 р. нового явища – фотоелектричного ефекту.

Закони зовнішнього фотоефекту. Явище зовнішнього фотоефекту полягає у випусканні речовиною (поверхнею металу, наприклад калію, літію, цезію) електронів під дією падаючого світла. Закони, що були встановлені для фотоефекту (закони Столєтова):

- сила фотоструму насичення пропорційна освітленості фотокатода;

- максимальна кінетична енергія фотоелектронів не залежить від інтенсивності падаючого світла, а визначається лише його частотою ν;

- для кожної речовини існує “червона межа” фотоефекту, тобто мінімальна частота ν₀ світла, нижче якої фотоефект неможливий (або, існує максимальна довжина хвилі, вище якої фотоефект неможливий). Важливо зазначити, що фотоефект є безінерційним.

Формула Ейнштейна для фотоефекту пояснила з точки зору гіпотези про кванти (як найменшої порції енергії електромагнітної хвилі) та існування світлових квантів (фотонів як частинок, що мають цю енергію) явище фотоефекту. Фактично - це закон збереження енергії в акті взаємодії кванта з електроном. У рамках квантової теорії фотоефекту кожний світловий квант (фотон) взаємодіє лише з одним електроном. Енергія падаючого фотона hν витрачається на здійснення електроном роботи виходу А з речовини та на надання фотоелектрону кінетичної енергії:

, (6.1.4)

де – енергія фотона, що падає на поверхню металу; A – робота виходу електрона; T_max – максимальна кінетична енергія фотоелектрона. Це співвідношення називають рівнянням Ейнштейна. З рівняння Ейнштейна випливає, зокрема, наявність “червоної границі” фотоефекту: якщо енергія кванта мала (червоне світло), так що , то фотоефект неможливий при будь - якій великій інтенсивності світла. Червона границя фотоефекту (червона межа фотоефекту):

, (6.1.5)

де – мінімальна частота світла, при якій фотоефект ще можливий; – максимальна довжина хвиль світла, при якій ще можливий фотоефект; h – стала Планка; c – швидкість світла у вакуумі.

Жодну закономірність фотоефекту не можна ані зрозуміти, ані пояснити, якщо виходити з хвильових уявлень про світло. Показові в цьому відношенні досліди з фотоефекту на дуже дрібних частинках металевого пилу (Мейєр і Герлах, 1914). Припустимо, що світло - це електромагнітні хвилі. При перенесенні енергії хвилею вона (енергія) розподілена рівномірно (при постійній амплітуді) по всьому хвильовому фронту. Розрахунок показує, що внаслідок малих розмірів порошинки час, необхідний для накопичення електроном енергії, зрівняної з роботою виходу А, може становити кілька хвилин (якщо інтенсивність світла досить мала). Саме такий час повинен був би пройти між початком опромінення і моментом появи фотоелектронів. На досліді ж випускання фотоелектронів порошинками починається тієї ж самої миті, як починається опромінення. Цей результат не можна пояснити інакше, як на основі припущення, що світло - це потік світлових квантів, котрі можуть вибивати електрони безпосередньо в момент зіткнення з частинкою металу.

В явищах фотоефекту світло виявляє свої корпускулярні властивості. 3 рівняння Ейнштейна для фотоефекту випливає, що фотоефект може спостерігатись тільки тоді, коли енергія hv світлового кванта (фотона), що падає на поверхню металу, не менша роботи виходу А. Отже, якщо освітлювати метал світлом різних частот, поступово переходячи від менших до більших (тобто від довших до коротших довжин хвиль), то фотоефект виникатиме тільки після досягнення червоної границі фотоефекту, - межі, що відповідає нульовому значенню швидкості фотоелектронів. Як приклад, у таблиці наведено значення роботи виходу та червоної границі для деяких чистих металів.

Метал	Сs	К	Na	Li	Tа	Hg	Au	Fe	Ag
А, еВ	1,88	2,26	2,20	2,48	4,07	4,54	4,68	4,74	4,76
, нм	660	550	540	500	305	273,5	265	262	261

Фотон, що падає на метал, може поглинатися (повністю) одним з його вільних електронів. Це означає, що енергія , яка існувала до цього моменту у формі кванта світла (електромагнітна енергія), перетворюється в кінетичну енергію електрона. Якщо частота світла перевищує червону границю (тобто ), то за рахунок поглинутої енергії електрон може вилетіти з металу. Однак не всі, а лише деякі фотони дають такий ефект: один вирваний світлом електрон (фотоелектрон) припадає приблизно на тисячу фотонів, що падають на метал. Інші фотони поглинаються вільними електронами, не вириваючи їх з металу (навіть при ). Енергія, що отримується таким способом електронами, передається атомам металу і перетворюється в енергію теплового руху – метал нагрівається.

Позначимо через N_е число електронів, які вириваються щосекунди світлом з одиниці площі поверхні металу, а через N_Ф – число фотонів, які падають щосекунди на одиницю площі тієї ж поверхні. Природно вважати, що ці величини пропорційні одна одній:

. (6.1.6)

Інтенсивність світла І визначається кількістю електромагнітної енергії, що переноситься за одиницю часу через одиничну площадку, перпендикулярну напрямку розповсюдження енергії. Отже, для монохроматичного світла , таким чином,

. (6.1.7)

Співвідношення (6.1.7) виражає одну з перелічених закономірностей фотоефекту: кількість фотоелектронів пропорційна інтенсивності світла. Для спостереження фотоефекту використовується схема, показана на рис. 6.1.2. Тут К - пластинка металу, що освітлюється; А - друга пластинка, яку приєднано разом з першою через гальванометр Г до відповідних полюсів батареї Б. Електрони, що звільняються світлом частотою з пластини К (катода), під дією різниці потенціалів летять до пластини А (анода) і далі проходять по провідниках через гальванометр, замикаючи струм батареї Б. Як бачимо, фотоефект дозволяє перетворювати енергію світла в електричну. Таке перетворення відбувається в будь-якому фотоелементі.

На рис. 6.1.3 наведено типову вольт-амперну характеристику вакуумного фотоелемента – залежність сили струму, що проходить через фотоелемент І (фотоструму), від прикладеної до нього напруги U, . У разі збільшення прискорюючої (на катоді “ - “, на аноді “ + ”) напруги фотострум І зростає, досягаючи постійного значення І_НАС (струм насичення). Насичення струму настає, коли всі звільнені за одиницю часу світлом електрони досягають анода. Якщо ж поле буде направлене так, щоб гальмувати рух електронів від катода до анода (на катоді “ + ”, на аноді “ – “ ), то збільшення такої гальмівної напруги зменшує струм і навіть може звести його до нуля.