§ 2.2. Второй закон Ньютона

Для того чтобы сформулировать второй закон Ньютона, нужны понятия силы и массы.

Силой называется векторная величина, характеризующая воздействие на данное тело со стороны других тел.

Масса есть мера инертности тела. Под инертностью понимают неподатливость тела действию силы, т. е. свойство тела противиться изменению скорости под воздействием силы.

Импульс тела есть произведение массы тела на его скорость

. (2.1)

Второй закон Ньютона: скорость изменения импульса частицы равна действующей на частицу силе F:

(2.2)

Соотношение (2.2) называется уравнением движения частицы или основным уравнением динамики материальной точки.

Подставляя в формулу (2.2) выражение для импульса (2.1), получим, что

Наконец, приняв во внимание, что для материальной точки m = const, а  ускорению частицы, придем к соотношению

. (2.3)

Это вторая формулировка второго закона Ньютона: произведение массы частицы на ее ускорение равно силе, действующей на частицу.

Если на тело действуют несколько сил, то под F в формулах (2.2) и (2.3) подразумевается их результирующая (т. е. векторная сумма сил).

Надо иметь в виду, что законы Ньютона возникли в результате обобщения данных большого числа опытов и наблюдений и, следовательно, являются экспериментальными законами.

Спроектируем векторы, фигурирующие в формуле (2.3), на координатные оси x, y, z. В результате получим три скалярных уравнения:

(2.4)

которые эквивалентны векторному уравнению (2.3). Спроектировав векторы а и F на произвольное направление, заданное осью, которую мы обозначим, скажем, буквой l, получим уравнение

ma_l = F_l. (2.5)

Единицей силы является 1 Н = 1 кг · м/с².

§ 2.3. Третий закон Ньютона

Воздействие тел, друг на друга всегда носит характер взаимодействия. Если тело 2 действует на тело 1 с силой F₁₂, то тело 1 действует на тело 2 с силой F₂₁.

Третий закон Ньютона: силы, с которыми взаимодействуют два тела, равны по модулю и противоположны по направлению, т. е.

. (2.6)

Таким образом, силы всегда возникают попарно.

Подчеркнем, что силы, фигурирующие в соотношении (2.6), приложены к разным телам; поэтому они не могут уравновесить друг друга.

§ 2.4. Силы

Наиболее фундаментальные силы, лежащие в основе всех механических явлений, – это силы гравитационные и электрические. Приведем выражения для этих сил в самом простом виде, когда взаимодействующие массы (заряды) покоятся или движутся с малой (нерелятивистской) скоростью.

Сила гравитационного притяжения, действующая между двумя материальными точками. В соответствии с законом всемирного тяготения эта сила пропорциональная произведению масс точек m₁ и m₂, обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними и направлена по прямой, соединяющей эти точки:

, (2.7)

где G – гравитационная постоянная.

Кулоновская сила, действующая между двумя точечными зарядами q₁ и q₂

, (2.8)

где r – расстояние между зарядами; k – коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора системы единиц. В системе СИ , где ₀ – электрическая постоянная.

В отличие от гравитационной силы кулоновская сила может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания.

Однородная сила тяжести

F = m g, (2.9)

где m – масса тела; g – ускорение свободного падения, g = 9.8 м/с².

Заметим, что в отличие от силы тяжести вес Р – это сила, с которой тело действует на опору (или подвес), неподвижную относительно данного тела. Например, если тело с опорой (подвесом) неподвижны относительно Земли, то вес Р совпадает с силой тяжести. В противном случае вес Р = m(g – a), где a – ускорение тела (с опорой) относительной Земли.

Упругая сила – сила, пропорциональная смещению материальной точки из положения равновесия и направленная к положению равновесия:

F = – k r, (2.10)

где r – радиус-вектор, характеризующий смещение частицы из положения равновесия; k – положительный коэффициент, зависящий от «упругих» свойств той или иной конкретной силы (коэффициент упругости).

Примером такой силы является сила упругой деформации при растяжении (сжатии) пружины или стержня; в соответствии с законом Гука эта сила определяется как

F = k l,

где l – величина упругой деформации или абсолютное удлинение тела.

Сила трения скольжения, возникающая при скольжении данного тела по поверхности другого тела,

F =  N, (2.11)

где  – коэффициент трения скольжения, зависящий от природы и состояния соприкасающихся поверхностей (в частности, от их шероховатости); N – сила нормального давления, прижимающая трущиеся поверхности друг к другу.

Сила F направлена в сторону, противоположную направлению движения данного тела относительно другого.

Сила сопротивления, действующая на тело при его поступательном движении в газе или жидкости. Эта сила зависит от скорости V тела относительно среды, причем направлена противоположно вектору V:

F =  r V, (2.12)

где r – положительный коэффициент, характерный для данного тела и данной среды (коэффициент сопротивления).