Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
pankov_lectur_mech_molecul.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.07.2025
Размер:
6.39 Mб
Скачать

§ 4.2. Момент импульса и момент сил относительно неподвижной оси

Векторное уравнение (4.4.) эквивалентно трем скалярным уравнениям:

, (4.5)

которые получаются из уравнения (4.4) путем проектирования на неподвижные оси декартовой системы координат. Индекс «внеш.», указывающий на то, что при вычислении момента сил внутренние силы могут не приниматься во внимание, в дальнейшем обычно будет опускаться. Таким образом, под М в уравнении моментов всегда будет подразумеваться момент внешних сил. Величины Lx и Мх называются соответственно моментами импульса и сил относительно оси Х. Аналогично говорят о моментах импульса и сил относительно координатных осей Y и Z.

Вообще, моментами Lx и Мх импульса и сил относительно произвольной оси Х называют проекции векторов L и М на эту ось в предположении, что начало О лежит на рассматриваемой оси.

Уравнение

(4.6)

называется уравнением моментов относительно неподвижной оси Х.

Когда момент внешних сил относительно какой-либо неподвижной оси равен нулю, то момент импульса системы относительно той же оси остается постоянным. Это – закон сохранения момента импульса относительно неподвижной оси.

§ 4.3. Уравнение момента импульса для вращения вокруг неподвижной оси. Момент инерции

Применим уравнение моментов относительно оси к рассмотрению вращательного движения. За неподвижную ось моментов удобно выбрать ось вращения.

Если материальная точка вращается по окружности радиуса r (см. рис.4.2), то момент ее импульса относительно оси вращения О равен L = mVr. Пусть   угловая скорость вращения, тогда V =r и, следовательно, L = mr2.

Рис. 4.2

Если вокруг оси О вращается система материальных точек с одной и той же угловой скоростью ω, то L = , где суммирование производится по всем материальным точкам системы. Величину  как одинаковую для всех материальных точек можно вынести из-под знака суммы. Тогда получится

, (4.7)

где

(4.8)

Величина I, равная сумме произведений масс материальных точек на квадраты расстояний их до оси вращения, называется моментом инерции системы относительно этой оси. Уравнение (4.7) показывает, что при вращении системы момент ее импульса относительно оси вращения равен произведению момента инерции относительно той же оси на угловую скорость.

В этом случае Уравнение (4.6) принимает вид

, (4.9)

где М – момент внешних сил относительно оси вращения.

Это – основное уравнение динамики вращательного движения вокруг неподвижной оси. Оно напоминает уравнение Ньютона для движения материальной точки.

Для вращения неизменяемой системы материальных точек или твердого тела вокруг неподвижной оси, для которого I=const, уравнение (4.9) переходит в или

, (4.10)

где  = d/dt – угловое ускорение.

Кинетическая энергия вращающегося твердого тела представляется в виде

,

или

. (4.11)

§ 4.4. Теорема Штейнера

Найдем связь между моментами инерции тела относительно двух различных параллельных осей. Предполагается, что эти оси перпендикулярны к плоскости рисунка и пересекают ее в точках О и А. Ради краткости будем называть эти самые оси также осями О и А. Разобьем мысленно тело на элементарные массы dm. Радиусы – векторы одной из них, проведенные от осей О и А параллельно плоскости рисунка, обозначим r и r, соответственно.

Рис. 4.3

На рис. 4.3 изображен такой случай, когда элементарная масса dm лежит в плоскости рисунка. Тогда r = ra, a означает радиус-вектор . Следовательно, r2 = r2 + a2 – 2(ar). Учитывая, что для твердого тела момент инерции определяется через интеграл , получим

Интеграл слева есть момент инерции IA тела относительно оси А, первый интеграл справа – момент инерции относительно оси О. Последний интеграл можно представить в виде , где RC – радиус-вектор центра масс С тела относительно оси О (точнее, RC есть слагающая радиуса-вектора центра масс, параллельная плоскости рисунка). Таким образом,

IA = IO + ma2 – 2m(aRC). (4.12)

Допустим, что ось О проходит через центр масс С тела. Тогда RC = 0, и предыдущая формула упрощается, принимая вид

. (4.13)

Это важное геометрическое соотношение называется теоремой Штейнера.

Момент инерции тела относительно какой-либо оси равен моменту инерции его относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, сложенному с величиной ma2, где а – расстояние между осями.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]