Переопределенные системы линейных уравнений. Линейная алгебра подробно рассматривает решение различных классов систем линейных уравнений (далее СЛУ): СЛУ, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, в которых число неизвестных превышает число уравнений, однородные СЛУ. Приведем простую задачу на экономическую тематику, которая приводит к понятию переопределенных СЛУ. В городе три хлебокомбината, они производят и реализуют хлеб первого и второго сорта. Данные по производству хлеба двух сортов и суммарной выручке от его реализации приведем в таблице.

Цифровые данные приведены в условных единицах, например, тысяч булок, тысяч рублей. На основании приведенных данных требуется определить среднюю цену хлеба обоих сортов. Понятно, что по средней цене ни один магазин хлеб не продавал, но очевидно, средняя цена существует и приведенных данных достаточно для ее определения. Введем неизвестные: "х" - средняя цена хлеба первого сорта, "у" - средняя цена хлеба второго сорта. На основании данных таблицы очевидна система уравнений:

5х + 2у = 52 (1) 2х + 3у = 35 2х + у = 20

Итак, пришли к системе, в которой число уравнений превышает число неизвестных. Такие СЛУ называются переопределенными. Почему такие системы, как правило, не рассматриваются в учебниках классической математики? Ответ на этот вопрос очевиден. Геометрически уравнения составленной системы представляют из себя прямые, а три прямые в общем случае не пересекаются в одой точке. Таким образом, переопределенная СЛУ в общем случае несовместна, точки на плоскости, которая бы принадлежала всем трем прямым, нет. Но смысл приведенной экономической задачи говорит о том, что решение должно быть! Что же принять за решение переопределенной СЛУ? Общей точки прямые не имеют, но существует точка (единственная ли?), сумма расстояний от которой до данных прямых есть величина наименьшая. Вот эту точку, ее координаты, и принимают за решение переопределенной СЛУ. Смотрите рисунок. Мы для наглядности привели простейшую задачу, те же рассуждения можно применить и для большего числа уравнений и для большего числа неизвестных. Так, например, для трех переменных уравнения можно геометрически интерпретировать как плоскости, 4 и более из которых в общем случае не имеют общей точки. Для линейных уравнений с большим числом неизвестных пользуются понятием "гиперплоскость". Для нахождения описанного решения используется метод наименьших квадратов. Его суть в том, что он минимизирует сумму расстояний от точки до прямых а сумму квадратов расстояний (в данном примере) от точки до прямых. Этот метод применяется во многих областях математики и прикладных исследованиях. Не приводя алгоритма найдем решение. Решением переопределенной СЛУ по методу наименьших квадратов оказалась пара чисел: (7,6666; 6,5000)

А теперь оценим сумму расстояний от точки до прямых. Как известно из аналитической геометрии расстояние от точки (x₀;y₀) до прямой ax + by + c = 0 вычисляется по формуле:

Поставим задачу решения переопределенной СЛУ в программе Excel. Оформим страницу Excel следующим образом, с использованием формул (1)

В ячейки А1, В1 ввели 1, можно было ввести любые другие числа. Выходим в поиск решения и устанавливаем:

Как видим, получили другие, отличающиеся от ранее найденных, решения: х = 7,818; у = 6,454 Подводим итоги. Метод наименьших квадратов дал нам решение (7,6666;6,5), сумму расстояний от точки до прямых 0,9800. В Excel же мы получили решение (7,818; 6,454), сумму расстояний от точки до прямых 0,935. Какое же решение считать "правильным"? Нельзя не верить классическому методу наименьших квадратов! Но, нетрудно дать оценку "качества" полученных решений. Очевидно, что решение, полученное в Excel, более точно отражает реальную действительность. Результаты разнятся на сотые доли и, тем не менее, разнятся. Метод наименьших квадратов оперирует с квадратами отклонений, Excel же минимизирует непосредственно сумму модулей отклонений. Мы принимаем оба решения как верные, отдавая предпочтение для практического использования более точному. Получается так, что решая эти задачи в "докомпьютерную эпоху" и говоря, что метод наименьших квадратов дает единственную точку, сумма расстояний от которой до прямых минимальна, мы были не правы! Проверьте, решив переопределенные СЛУ по методу наименьших квадратов и по предложенной методике в Excel. Варианты заданий.

Решите систему пяти уравнений с тремя неизвестными. По аналогии выполним вычисления в Excel. Excel дал решение: Минимальное отклонение пяти плоскостей от точки пространства: 0,948314 Проверьте!

7. Лабораторная работа № 6 .«решение систем линейных алгебраических уравнений»

Содержание

1. Системы линейных алгебраических уравнений

2. Табличные формулы и операции с матрицами

3. Решение линейных алгебраических систем Группировка рабочих листов Метод Крамера Матричный способ решения Поиск решения

4. Варианты задания

Цель работы: уяснить сущность задачи и методы решения. Овладеть технологией решения систем линейных алгебраических уравнений средствами MS Excel.

7.1.Системы линейных алгебраических уравнений

Многие задачи экономического характера сводятся к решению систем линейных уравнений. Систему вида

(7.1)

принято называть системой n линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с n неизвестными. При этом произвольные числа a_ij (i = 1, 2,…, n; j = 1, 2,…, n) называются коэффициентами системы (коэффициентами при неизвестных), а числа b_i (i = 1, 2,…, n) – свободными членами. Такая форма записи (7.1) алгебраической линейной системы называется нормальной. Решением СЛАУ (7.1) называется совокупность чисел x_i (i = 1, 2,…, n), при подстановке которых в систему каждое из ее уравнений обращается в тождество. Систему (7.1) можно записать в матричной форме

A X = B,

(7.2)

где A – матрица коэффициентов при неизвестных (матрица системы):

(7.3)

X – вектор-столбец неизвестных X = (x₁, x₂, …, x_n)^T:

(7.4)

B – вектор-столбец свободных членов:

(7.5)

или B = (b₁, b₂,..., b_n)^T. Целое число n называется размерностью системы.

(7.6)

Система уравнений (7.6) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной – в противном случае. Совместная система (7.6) называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет больше одного решения.

7.2.Табличные формулы и операции с матрицами

Табличные формулы или формулы массива – очень мощное вычислительное средство Excel, позволяющее работать с блоками рабочего листа как с отдельными ячейками. Табличные формулы в качестве результата возвращают массив значений. Поэтому перед вводом такой формулы необходимо выделить диапазон ячеек, куда будут помещены результаты. Потом набирается сама формула. Ввод ее в выделенный диапазон ячеек осуществляется нажатием комбинации клавиш Ctrl+Shift+Enter. Это принципиально. Формула вводится во все ячейки выделенного интервала. При активизации любой ячейки из интервала, содержащего формулу массива, в строке формул отображается введенная формула, заключенная в фигурные скобки. Именно фигурные скобки являются признаком табличной формулы. Для выделения всего блока, содержащего табличную формулу, необходимо выделить одну из его ячеек, после чего нажать комбинацию клавиш Ctrl+/. Невозможно редактировать содержимое только одной ячейки из интервала с табличной формулой. Изменить можно только весь блок целиком, для чего он и должен быть предварительно выделен.

Например, пусть необходимо сложить две матрицы размера 33. Элементы первой матрицы (9 элементов) разместим в интервале A1:C3, второй – в диапазоне E1:G3. Под результат выделим интервал A5:C7. После чего, не снимая выделения, введем формулу =A1:C3+E1:G3, нажав комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter. В ячейках интервала A5:C7 отобразится результат – сумма соответствующих элементов матриц, а в строке формул мы увидим {=A1:C3+E1:G3}. Пусть вместо сложения нам надо умножить первую матрицу на число 2. Для этого перемещаемся внутрь интервала A5:C7, выделяем его, нажав комбинацию Ctrl+/, вносим в формулу исправления =A1:C3*2, вводим ее нажатием Ctrl+Shift+Enter. В интервале A5:C7 увидим результат умножения, а в строке формул – табличную формулу {=A1:C3*2}.

К простейшим операциям с матрицами принято относить следующие: сложение и вычитание матриц, умножение и деление матрицы на число, перемножение матриц, транспонирование, вычисление обратной матрицы. Умножение (деление) матрицы на число, сложение (вычитание) матриц в Excel реализуются достаточно просто: с помощью обычных формул (поэлементное сложение или вычитание, умножение или деление на число), либо с использованием табличных формул, как это было описано выше. Для остальных матричных операций в Excel предусмотрены функции рабочего листа из категории «Арифметические и тригонометрические функции»:

1. МОПРЕД(матрица) – вычисление определителя матрицы,

2. МОБР(матрица) – вычисление обратной матрицы,

3. МУМНОЖ(матрица1;матрица2) – произведение матриц,

4. ТРАНСП(матрица) – транспонирование матрицы.

Первая из этих функций в качестве результата возвращает число (определитель матрицы), поэтому вводится как обычная формула (Enter). Последние три возвращают блок ячеек, поэтому должны вводиться как табличные формулы (Ctrl+Shift+Enter).