Часть II

Варианты заданий:

1. Построить спектр заданного сигнала, реализовать АМ сигнала, построить спектр модулированного сигнала, реализовать демодуляцию сигнала, построить графики заданного и демодулированного сигналов.

2. Построить спектр заданного сигнала, реализовать АМ с подавленной несущей, построить спектр модулированного сигнала, реализовать демодуляцию сигнала, построить графики заданного и демодулированного сигналов.

3. Построить спектр заданного сигнала, реализовать однополосную АМ, построить спектр модулированного сигнала, реализовать демодуляцию сигнала, построить графики заданного и демодулированного сигналов.

4. Построить спектр заданного сигнала, реализовать QАМ, построить спектр модулированного сигнала, реализовать демодуляцию сигнала, построить графики заданного и демодулированного сигналов.

5. Построить спектр заданного сигнала, реализовать FM, построить спектр модулированного сигнала, реализовать демодуляцию сигнала, построить графики заданного и демодулированного сигналов.

6. Построить спектр заданного сигнала, реализовать однополосную PМ, построить спектр модулированного сигнала, реализовать демодуляцию сигнала, построить графики заданного и демодулированного сигналов.

Теоретические сведения:

Построение спектра сигнала

Рассмотрим реальный сигнал длиной 800 отсчетов ( рисунок 1). Для построения спектра этого сигнала нужно знать частоту дискретизации сигнала. В данном случае она равна 2048 Гц. Произведем дискретное преобразование Фурье (ДПФ) этого сигнала ( рисунок 2): s1=abs(fft(xcov(s)));

Информативный спектр представляют только первые 800 отсчетов сигнала, но видно, что максимальная СПМ сигнала сосредоточена на отсчетах от 0 до 200. Переведем отсчеты дискретного преобразования Фурье в отсчеты частоты и получим информативный график спектра ( рисунок 3):

f = 2048*(0:800)/1600;

f1=f(1:201);

plot(f1,s1(1:201));

Аналогичный результат можно получить в виде спекграммы ( рисунок 4):

specgram(s,800,2048)

Рисунок 1. Сигнал Рисунок 2. ДПФ

Рисунок 3 Спектр сигнала Рисунок 4 Спекграмма сигнала

Модуляция сигнала

При создании систем передачи информации в большинстве случаев оказывается, что спектр исходного сигнала, подлежащего передаче, сосредоточен отнюдь не на тех частотах, которые эффективно пропускает имеющийся канал связи. Кроме того, во многих случаях требуется, чтобы передаваемый сигнал был узкополосным, то есть эффективная ширина его спектра должна быть намного меньше центральной частоты. Перечисленные причины приводят к необходимости такой трансформации исходного сигнала, чтобы требования, предъявляемые к занимаемой сигналом полосе частот, были выполнены, а сам исходный сигнал можно было восстановить.

Решение указанной проблемы достигается путем использования модуляции, сущность которой заключается в следующем. Формируется некоторое колебание (чаще всего гармоническое), называемое несущим колебанием или просто несущей, и какой-либо из параметров этого колебания изменяется во времени пропорционально исходному сигналу. Исходный сигнал называют модулирующим, а результирующее колебание с изменяющимися во времени параметрами — модулированным сигналом. Обратный процесс — выделение модулирующего сигнала из модулированного колебания — называется демодуляцией.

У гармонического несущего колебания s(t) = A cos(w ₀t + j ₀) есть три параметра: амплитуда A, частота w₀ и начальная фаза j₀. Каждый из них можно связать с модулирующим сигналом, получив таким образом три основных вида аналоговой модуляции: амплитудную, частотную и фазовую. Частотная и фазовая модуляция очень тесно взаимосвязаны, поскольку обе они влияют на аргумент функции cos. Поэтому эти два вида модуляции имеют общее название —угловая модуляция. Используется также квадратурная модуляция, при которой одновременно изменяются амплитуда и фаза сигнала.

Амплитудная модуляция

В общем случае спектр АМ-сигнала содержит несущую частоту (уровень которой определяется постоянной составляющей огибающей), а также верхнюю и нижнюю боковые полосы ( рисунок 6).

Амплитудная модуляция осуществляется функциями amod (формируется вещественный выходной сигнал) и amodce (формируется комплексная огибающая) пакета Communications при указании в них параметра типа модуляции 'amdsb-tc'. Необязательный параметр offset — постоянная составляющая, добавляемая к модулирующему сигналу перед умножением его на несущее колебание. По умолчанию значение этого параметра равно –min(min(x)), то есть выбирается минимально возможная одинаковая для всех каналов постоянная составляющая, обеспечивающая однополярность амплитудного множителя.

Реализуем амплитудную модуляцию для сформированного модулирующего ЛЧМ (линейно частотно модулированного) сигнала. Значение несущей частоты Fc выберем равным 2 кГц. Частота дискретизации Fs будет равна 16000 Гц. Длительность сигнала положим равной 2 с. Отсчеты времени представляют собой вектор t=0:1/Fs:2, где 1/Fs является интервалами между соседними отсчетами. ЛЧМ-сигнал получим с помощью команды s_M = chirp(t,f0,t1,f1) , которая генерирует выборки косинусоидального сигнала линейной качающейся частоты в моменты времени, определяемые массивом t, где f0 - мгновенная частота в момент 0, а f1 - мгновенная частота в момент t1 (в герцах). Выберем f0=0; t1=1; f1=650. Построим график начального фрагмента полученного АМ-сигнала и спектрограмму этого сигнала ( рисунок 5, рисунок 6):

>> s_AM = amod(s_M, Fc, Fs, 'amdsb-tc'); >> figure >> plot(t(1:2000), s_AM(1:2000)) >> figure >> specgram(s_AM, 256, Fs)

Рисунок 5 Сигнал Рисунок 6 Спекграмма сигнала

АМ с подавленной несущей

АМ с подавленной несущей осуществляется функциями amod (формируется вещественный выходной сигнал) и amodce (формируется комплексная огибающая) пакета Communications при указании в них параметра типа модуляции 'amdsb-sc'. Фактически АМ с подавленной несущей соответствует обычной АМ при значении параметра offset, равном нулю( рисунок 7).

Рисунок 7. Спекграмма сигнала с подавленной несущей

Однополосная модуляция

АМ с подавленной несущей осуществляется функциями amod (формируется вещественный выходной сигнал) и amodce (формируется комплексная огибающая) пакета Communications при указании в них параметра типа модуляции 'amssb'. Реализуем однополосную модуляцию для сформированного ранее модулирующего ЛЧМ-сигнала. Создадим однополосные сигналы с нижней и верхней боковой полосой и построим их спектрограммы( рисунок 8, рисунок 9) :

>> s_SSB_LOW = amod(s_M, Fc, Fs, 'amssb'); >> s_SSB_HI = amod(s_M, -Fc, Fs, 'amssb'); >> figure >> specgram(s_SSB_LOW, [], Fs) >> figure >> specgram(s_SSB_HI, [], Fs)

Рисунок 8 Спекграмма сигнала с НБП Рисунок 9 Спекграмма сигнала с ВБП

Квадратурная амплитудная модуляция

Сигнал с квадратурной амплитудной модуляцией (КАМ) представляет собой сумму двух несущих колебаний одной и той же частоты, сдвинутых по фазе друг относительно друга на 90° , каждая из которых модулирована по амплитуде своим модулирующим сигналом. Косинусная составляющая называется синфазной, синусная — квадратурной.

У КАМ-сигнала зависят от времени и амплитуда, и начальная фаза. Сформируем сигнал с квадратурной модуляцией, использовав в качестве модулирующих сигналов гармонические колебания разных частот, и построим графики сигнала и его спектра ( рисунок 10, рисунок 11).

>> Fs = 16e3; % частота дискретизации >> T = 2; % длительность сигнала >> t = 0:1/Fs:T; % вектор значений времени >> F_a = 200; % частота синфазного модулирующего сигнала >> F_b = 500; % частота квадратурного модулирующего сигнала >> s_M_a = cos(2*pi*F_a*t); % синфазный модулирующий сигнал >> s_M_b = cos(2*pi*F_b*t); % квадратурный модулирующий сигнал >> s_M = [s_M_a' s_M_b']; % двухканальный модулирующий сигнал >> Fc = 2e3; % несущаЯ частота >> s_QAM = amod(s_M, Fc, Fs, 'qam'); % КАМ-сигнал >> figure >> subplot(1, 2, 1) >> plot(t(1:200), s_QAM(1:200)) % график сигнала >> hold on >> A_m = abs(s_M_a + i*s_M_b); % огибающая >> plot(t(1:200), A_m(1:200), 'r-') % график верхней огибающей >> plot(t(1:200), -A_m(1:200), 'r-') % график нижней огибающей % >> ylim([-1.1 1.1]) >> hold off >> N = floor(length(t)/2); >> f = (0:N)/length(t) * Fs; % вектор значений частот для графиков >> spec_QAM = fft(s_QAM); % расчет спектра >> subplot(1, 2, 2) >> plot(f, abs(spec_QAM(1:N+1))) % график спектра

Рисунок 10 Сигнал QAM Рисунок 11. Спектр сигнала QAM

График КАМ-сигнала показывает, что огибающая действительно представляет собой корень из суммы квадратов модулирующих сигналов. На графике спектра видно, что в спектре действительно содержатся боковые частоты от обоих модулирующих сигналов, имеющие частоты 2000 ±  200 Гц и 2000 ±  500 Гц.

Примечание:

Размер реального сигнала может не подходить для команды amod. Надо определить размер тестового сигнала командой size и сравнить с размером реального сигнала. Например, для команды amod может требоваться вектор-строка, а реальный сигнал представляет собой вектор-столбец. В этом случае реальный сигнал надо преобразовать командой reshape. Или отменить транспонирование, когда задается массив векторов – столбцов для QAM.

Демодуляция сигналов с амплитудной модуляцией

Демодуляция сигналов с аналоговой модуляцией производится функциями ademod (вещественный входной сигнал) и ademodce (входной сигнал — комплексная огибающая) пакета Communications.

При демодуляции большое значение имеет фильтрация, а именно тип, порядок фильтра и частота среза.

Рассмотрим пример с реальным сигналом, амплитудная модуляция которого приведена на рисунке 12.

Fc=100000;

Fs=1.54e6;

s_AM= amod(s, Fc, Fs, 'amdsb-tc');

plot(s_AM);

Рисунок 12 Сигнал с АМ Рисунок 13. Сравнение исходного и принятого сигналов

F = Fc/Fs; % Изменение параметра F для вариации частоты среза фильтра.

[num,den] = butter(2,F); % Разработка фильтра Баттерворта 2-го порядка.

z = ademod(s,Fc,Fs,'amssb',num,den); % Демодуляция и фильтрация.

figure;

plot(s,'r');hold on;plot(z,'b') % сравнение переданного и принятого сигнала ( рисунок 13)

При реализации демодуляции можно также применить фильтры Чебышева и эллиптический с помощью команд:

[num,den] = cheby1(3,0.2,F);

[num,den] = cheby2(2,0.1,F);

[num,den] = ellip(2,0.1,0.1,F);

Угловая модуляция

Угловая модуляция осуществляется функциями amod (формируется вещественный выходной сигнал) и amodce (формируется комплексная огибающая) пакета Communications при указании в них параметра типа модуляции 'pm' (фазовая модуляция) или 'fm' (частотная модуляция). В качестве примера сформируем два сигнала с гармонической угловой модуляцией при разных индексах модуляции и построим графики сигналов и их спектров (рисунок 14, рисунок 15, рисунок 16, рисунок 17).

>> Fs = 8e3; % частота дискретизации >> T = 2; % длительность сигнала >> t = 0:1/Fs:T; % вектор значений времени >> F = 100; % частота модулирующего сигнала >> s_M = cos(2*pi*F*t); % гармонический модулирующий сигнал >> Fc = 2e3; % несущая частота >> s_PM_1 = amod(s_M, Fc, Fs, 'pm', 0.1); % узкополосный сигнал >> s_PM_2 = amod(s_M, Fc, Fs, 'pm', 10); % широкополосный сигнал >> figure >> subplot(1, 2, 1) >> plot(t(1:200), s_PM_1(1:200)) >> ylim([-1.1 1.1]) >> title('\beta=0.1') >> subplot(1, 2, 2) >> plot(t(1:200), s_PM_2(1:200)) >> ylim([-1.1 1.1]) >> title('\beta=10')

Рисунок 14 Сигнал с УМ Рисунок 15 Сигнал с УМ

Как видите, на графике узкополосного УМ-сигнала (b  = 0,1, слева) отклонения начальной фазы визуально не заметны, а на графике широкополосного сигнала (b  = 10, справа) они хорошо видны. Неравномерность амплитуды возникает из-за дискретного характера расчета — дискретные значения времени попадают не во все максимумы сигнала.

Теперь строим графики спектров:

>> N = floor(length(t)/2); >> f = (0:N)/length(t) * Fs; % вектор значений частот длЯ графиков >> spec_PM_1 = fft(s_PM_1); % расчет спектров >> spec_PM_2 = fft(s_PM_2); >> figure >> subplot(1, 2, 1) >> plot(f, abs(spec_PM_1(1:N+1))) >> title('\beta=0.1') >> subplot(1, 2, 2) >> plot(f, abs(spec_PM_2(1:N+1))) >> title('\beta=10')

Рисунок 16 . Спектр сигнала с УМ Рисунок 17 Спектр сигнала с УМ

Графики показывают, что спектр узкополосного сигнала (слева) действительно можно считать содержащим лишь три составляющих. В широкополосном случае (справа) ширина спектра примерно равна удвоенной девиации частоты, то есть 2b F = 2 x 10 x 100 Гц = 2 кГц.

Демодуляция сигналов с угловой модуляцией

Демодуляция сигналов с угловой модуляцией производится функциями ademod (вещественный входной сигнал) и ademodce (входной сигнал — комплексная огибающая) пакета Communications при указании параметра режима модуляции 'pm' (ФМ) или 'fm' (ЧМ). В приведенных ниже примерах показана угловая модуляция и демодуляция реальных сигналов.

Рисунок 18 Фазовая модуляция

Рисунок 19 Частотная модуляция

Fc=100000;

Fs=1.54e6;

s_AM= amod(s, Fc, Fs, 'pm',10);

plot(s_AM);

F = Fc/Fs;.

[num,den] = cheby1(2,0.1,F);

z = ademod(s,Fc,Fs,'pm',num,den);.

s=s/max(s);

z=detrend(z/max(z));

figure;

plot(s,'r');hold on;plot(z,'b')

x=sum(s-z)

Fc=100000;

Fs=1.54e6;

s_AM= amod(s, Fc, Fs, 'fm',5);

plot(s_AM);

F = Fc/Fs;

%[num,den] = butter(2,F);

[num,den] = cheby1(3,0.2,F);

%[num,den] = cheby2(2,0.1,F);

%[num,den] = ellip(2,0.1,0.1,F);

z = ademod(s,Fc,Fs,'fm',num,den);

s=s/max(s);

z1=detrend(z/max(z));

figure;

plot(s,'r');hold on;plot(z1,'b')

Указания к выполнению задания:

1. Для заданного сигнала частоту дискретизации выбирать равной удвоенной верхней частоте в найденном спектре. Например, если основная часть энергии сигнала сосредоточена в диапазоне от 0 до 150 Гц, то =2*150=300 Гц.

2. Так как при демодуляции параметр F фильтра Баттерворта должен находиться в диапазоне от 0 до 1, то нужно выбрать несущую частоту < .

3. Если Вы выбираете значения , , приведенные в примере, то обоснуйте свой выбор

4. Если выполняется частотная модуляция, то приведите графики спектров при больших и малых индексах модуляции

Отчет должен содержать:

1. Задание на выполнение работы

2. Листинги программ и графики согласно варианту

3. Выводы

Контрольные вопросы:

1. Какой из видов модуляции требует более широкой полосы пропускания и почему?

2. Какой из видов модуляции является линейным преобразованием сигнала, а какой – нелинейным?

3. Может ли быть гетеродин линейным устройством?